La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Discusión:Álgebra geométrica

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Saltar a navegación, buscar

Índice

Motivo

Como es más difícil seguir referencias aquí que en la wiki general, voy a desarrollar las bases del álgebra geométrica (à la David Hestenes) como tratamiento unificado. La referencia de partida es http://modelingnts.la.asu.edu/html/evolution.html

ver Representaciones de álgebras de Clifford


DefLog 18:02 16 may, 2004 (CEST)

Comienzo

Hay que empezar por algún lado (que no sea la lógica!) así que comenzamos con la estructura aditiva (substractiva) de los anillos via el Argumento de Eckmann-Hilton. A medida que traemos de la wiki se verá que hace falta (magma (completo!), medial, etc.)

DefLog 03:45 18 may, 2004 (CEST)

Justifica

DefLog 20:18 8 jun, 2004 (CEST)

Justifica Diferencia

Las ecuaciones básicas para el sentido lógico de la diferencia (cf. Sofista) son

  1. x - x = 0
  2. x - 0 = x
  3. x - (x - y) = y

que expresan que nada difiere de si mismo y que si dos cosas no difieren (x - y = 0) entonces no son "dos" (x = y).

Veremos que los dos primeros y ecuacionalidad fuerte justifican el enfoque.

DefLog 21:04 8 jun, 2004 (CEST)

Justifica Anillo

Si pedimos una ecuación (de substracción) que asegure la cerradura de los endomorfismos para la operación punto a punto (cf. Medial (álgebra)) el objeto (¡obligatorio!) es un anillo (Ojo!!!! hay otro artículo muy similar Anillo (matemáticas). Esta es la razón última de su importancia.

de substracción (2 axiomas) y de axioma medial (para -) (1 axioma)

  1. x - x = 0
  2. x - 0 = x
  3. (x - y) - (u - z) = (x - u) - (y - z)

Esto justifica los axiomas para los endomorfismos de la substracción (X,-) con operaciones punto a punto y producto de composición. i.e. a, b, c son endomorfismos A = End(X) (x, y, z son elementos de X)

Los siguientes axiomas (I, II, III) se justifican por reconstrucción medial primero para X y despues para los endomorfismos. (0 es la función constante al centro en X) por lo que copiamos parte relevante de Argumento de Eckmann-Hilton, cambiando variables y usando propiedades específicas.

Ejemplo básico de medialidad o abelianidad (viejo) (es decir un objeto auto-magma con una operación binaria T que satisface
(x T y) T (u T z) = (x T u) T (y T z)
x T y = λ(x) + μ(y) en un monoide conmutativo con λ y μ endomorfismos que conmutan entre si. Esto generaliza a los semigrupos conmutativos la noción de combinación lineal y afin.
Decimos que una operación medial está centrada si admite algún idempotente cancelativo bilátero (un centro).
Ahora, si tenemos una operación medial centrada (sea 0 un centro), definamos λ(x) = x T 0 y μ(y) = 0 T y, como la cancelatividad exige, tenemos retracciones λ' y μ' tales que λ'(λ(x)) = x y μ'(μ(y)) = y, si λ' y μ' son biyectivas, se puede definir x + y = λ'(x) T μ'(y), esta es medial también, 0 es su identidad y reconstruye x T y = λ(x) + μ(y), por tanto un caso del ejemplo básico. Inversamente, asuma que el ejemplo básico es sobre un monoide conmutativo con x T y = λ(x) + μ(y), como λ(0) = 0 = μ(0) entonces 0 T 0 = 0 es decir idempotente y x T 0 = λ(x), 0 T y = μ(y).

Que las condiciones se cumplen aquí es evidente, porque el único idempotente posible es 0 (axioma 1) y efectivamente es cancelativo bilátero: para un lado es neutro (axioma 2), para el otro tenemos x = (x - 0) - 0 = (x - 0) - (x - x) = (x - x) - (0 - x) = 0 - (0 - x) (axioma 3) i.e. que 0 - x es una involución y por tanto biyectiva. Aquí λ = λ' = I (identidad) y μ = μ' = -(.) (negativo monario obtenido del binario - por 0 - (.), de aquí que las calculadoras usen '+/-' para distinguir) y la reconstrucción es tan trivial que ni se nota x + y = λ'(x) - μ'(y)= I(x) - (0 - y) = x - (-y).

Axiomas del artículo Anillo con cambio de numeración a romana para distinguir.

Axioma I. La suma es asociativa: a + (b + c)=(a + b) + c .

Axioma II. La suma es conmutativa: a + b = b + a .

Axioma III. Existe un elemento 0 en A tal que: a + 0 = a .

Axioma IV. Para cada elemento a de A existe otro elemento b tal que: a + b = 0.

usando b = 0 - a

Axioma V. El producto es asociativo: a(bc) = (ab)c.

toda composición de endofunciones (endomorfismos o no) lo es.

Axioma VI. (Propiedad distributiva): a(b+c) = ab + ac , (a + b)c = ac + bc.

el primero porque a.(-) es un morfismo, el segundo es ¡universal! (por definición de suma punto a punto).

Axioma VII. (Existencia de unidad): Existe un elemento 1 en A tal que a1 = 1a = a para todo elemento a de A.

la endofunción identidad I: X → X es un morfismo.

DefLog 06:12 18 may, 2004 (CEST) (firma original)

Justifica Tensorial

El tensorial (monario) es el adjunto del Hom (monario covariante) para los grupos abelianos y generalizaciones como espacios vectoriales y módulos.

De Funtores_adjuntos#La_ubicuidad_de_los_funtores_adjuntos:

Hom (FB, C) = Hom (B, GC)
en la categoría de los grupos abelianos, donde el funtor F era 'toma el producto tensorial con A', y G era el funtor Hom(A,.). Aquí
Hom (X, Y)
significa 'todos los homomorfismos de grupos abelianos'

Con mayor razón se aplica entonces a un cuadrado tensorial asociado a una estructura de endomorfismos:

End(X) = Hom(X,X)

DefLog 01:45 23 may, 2004 (CEST)

Justifica Exterior

A partir del álgebra tensorial se obtienen diversas álgebras universales usando una forma bilineal dada. Pues bien, la más simple de estas es la forma nula, lo que da origen a las álgebras de Grassmann.

La forma nula

0 : V \otimes V \rarr \mathbb{K},

no sólo es la más simple sino que es la única que existe en forma canónica: es un 0-morfismo.

DefLog 06:27 23 may, 2004 (CEST)

Justifica Clifford

Pero la introducción de una forma cuadrática no trivial Q(x) permite definir el inverso de todo vector de base:

x-1 = x/xx = x/Q(x)

lo mismo para láminas pero siempre habrá combinaciones con cuadrado nulo!

DefLog 12:57 8 jun, 2004 (CEST)

Justifica álgebra sobre un cuerpo

Pero la condición necesaria evidente para tal forma cuadrática no trivial es que el anillo (Z-álgebra) sea un álgebra sobre un cuerpo

DefLog 20:15 8 jun, 2004 (CEST)


Justifica cuerpo de característica ≠ 2

Hasta aquí, nada impide que todo mantenga la estructura lógica de Justifica Diferencia y, en particular, que el cuerpo sea de característica = 2. Que esto trae "problemas" en álgebras sobre un cuerpo es bien conocido, pero no es justificación. Ahora, si recordamos el argumento de Eckmann-Hilton

Esto si es justificación aunque haya que postularlo igual que para evitar "problemas".

DefLog 21:59 8 jun, 2004 (CEST)

Justifica cuerpo de característica 0

Aunque este argumento también se aplica a característica 2 es conveniente separar, como hemos hecho, la parte lógica. Una propiedad fundamental (Propiedad de Euler. Faltan o son malas las referencias: las pondremos) de los cuerpos de característica ≠ 0 es que siempre hay solución de

x2 + y2 + 1 = 0

todo espacio (dimensión ≥ 3) tiene autoortogonales (rectas isotrópicas), con lo cual los vectores o láminas podrían carecer de inversos.

DefLog 22:23 11 jun, 2004 (CEST)

Versión Mejor

Damos otra versión (viene de [http://planetmath.org/encyclopedia/GeometricAlgebra.html Planetmath]) de álgebra geométrica más clara y más útil

Un álgebra geométrica es un álgebra de Clifford que se ha utilizado con gran éxito en modelar una variedad amplia de fenómenos físicos. El álgebra de Clifford se considera un marco algebraico más general que el álgebra geométrica. La distinción primaria es que el álgebra geométrica utiliza solamente números reales como escalares y para representar magnitudes.

Sea {\mathcal{V}}^n un espacio vectorial n-dimensional sobre los números reales. El álgebra geométrica {\mathcal{G}}_n={\mathcal{G}}({\mathcal{V}}^n) es una álgebra graduada similar al álgebra exterior de Grassmann , excepto que el producto exterior es substituido por una operación más fundamental de multiplicación conocida como el producto geométrico. Para los vectores y escalares reales el producto geométrico satisface los axiomas siguientes :

\begin{matrix} \mbox{asociatividad:} & \mathbf{a}(\mathbf{b}\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\mathbf{b})\mathbf{c} & \mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = (\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c} \\ \mbox{conmutatividad:} & \alpha\beta = \beta\alpha & \alpha+\beta = \beta+\alpha \\ & \alpha\mathbf{b} = \mathbf{b}\alpha & \alpha+\mathbf{b} = \mathbf{b}+\alpha \\ & \mathbf{ab} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) + \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) & \mathbf{a}+\mathbf{b} = \mathbf{b}+\mathbf{a} \\ \mbox{distributividad:} & \mathbf{a}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{a}\mathbf{c} & (\mathbf{b}+\mathbf{c})\mathbf{a} = \mathbf{b}\mathbf{a}+\mathbf{c}\mathbf{a} \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \mbox{linealidad:} & \alpha(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \alpha\mathbf{b}+\alpha\mathbf{c} = (\mathbf{b}+\mathbf{c})\alpha \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \mbox{contracción:} & \mathbf{a}^2 = \mathbf{a}\mathbf{a} = \sum_{i=1}^{n}\epsilon_{i}|\mathbf{a}_{i}|^2 = \alpha & \mbox{donde } \epsilon_{i} \in \{-1,0,1\} \end{matrix}

Conmutatividad de la multiplicación escalar-escalar y de la multiplicación vector-escalar es obvia; sin embargo, como, en general, la multiplicación vector-vector no es conmutativa, el orden de la multiplicación de vectores es significativa. En particular, para los vectores paralelos:

\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{b}\mathbf{a}

y para los vectores ortogonales:

\mathbf{a}\mathbf{b} = -\mathbf{b}\mathbf{a}

El paralelismo de vectores se codifica como propiedad simétrica, mientras que la ortogonalidad de vectores se codifica como propiedad antisimétrica.

La regla de la contracción especifica que el cuadrado de cualquier vector es un escalar igual a la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes en cada dirección de base. Dependiendo de la regla de la contracción para cada uno de las direcciones de la base, la magnitud vectorial puede ser positiva, negativa, o cero. Un vector con una magnitud de cero se llama un vector nulo .

El álgebra graduada {\mathcal{G}}_{n} generada de {\mathcal{V}}^{n} se define sobre un espacio lineal 2n-dimensional. Las entidades de esta base para este espacio se pueden generar por el uso sucesivo del producto geométrico a los vectores de base de {\mathcal{V}}^{n} hasta que un conjunto cerrado de entidades de base sea obtenido. Los entes de base para el espacio se conocen como láminas. La tabla de multiplicación siguiente ilustra la generación de las láminas de base por los vectores de base \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} \in {\mathcal{V}}^{n}.

\begin{matrix} \epsilon_{0} & \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{12} \\ \mathbf{e}_{1} & \epsilon_{1} & \mathbf{e}_{12} & \epsilon_{1}\mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{e}_{2} & -\mathbf{e}_{12} & \epsilon_{2} & -\epsilon_{2}\mathbf{e}_{1} \\ \mathbf{e}_{12} & -\epsilon_{1}\mathbf{e}_{2} & \epsilon_{2}\mathbf{e}_{1} & -\epsilon_{1}\epsilon_{2} \end{matrix}

Aquí, ε1 y ε2 representan la regla de la contracción para \mathbf{e}_{1} y \mathbf{e}_{2} respectivamente. Observe que los vectores de base de {\mathcal{V}}^{n} se convierten ellos mismos en láminas además de la identidad multiplicativa \epsilon_{0} \equiv 1, y el nuevo bivector \mathbf{e}_{12} \equiv \mathbf{e}_{1}\mathbf{e}_{2}. Como la tabla muestra, este conjunto de láminas de base es cerrado bajo producto geométrico.

El producto geométrico \mathbf{a}\mathbf{b} se relaciona con el producto interno \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} y el producto exterior \mathbf{a}\wedge\mathbf{b} por

\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{b}\wedge\mathbf{a} = 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}\mathbf{a}.

En discusión y desarrollo: comentar a continuación, NO corregir aquí

DefLog 04:33 21 may, 2004 (CEST)

[escribe] Sigue

Obtenido de «http://enciclopedia.us.es/index.php/Discusi%C3%B3n:%C3%81lgebra_geom%C3%A9trica»
Herramientas personales
Espacios de nombres
Variantes
Acciones
Navegación
Herramientas
Crear un libro