La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Diagrama de Venn

De la Enciclopedia Libre Universal en Español
Saltar a: navegación, buscar
Venn 0100 0100.png

Diagrama de Venn Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos.

Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo.

La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.

Orígenes e Historia

Los diagramas de Venn reciben su nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre esas cuatro paredes.

Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos con su nombre en julio de 1880 con la publicación de su trabajo titulado “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” (On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings) en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal.

Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos lógicos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz, y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el método de Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estandar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalización para los mismos.

Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libro “Lógica simbólica”, publicado en 1881 con el ánimo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiado éxito en su empeño, su libro se convirtió en una excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de representación. Siguió usándolo en su siguiente libro sobre lógica (Los principios de la lógica empírica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez más empleados como representación de relaciones lógicas.

Sin embargo, la primera referencia escrita al término “diagrama de Venn” de la que se tiene constancia es muy tardía (1918), en el libro “A Survey of Symbolic Logic”, de Clarence Irving Lewis.

Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento las características exclusivas, y en las intersecciones, las comunes con los otros.

Tipos de diagramas de venn

Diagrama de dos conjuntos

Observemos el ejemplo a la derecha: Supongamos que el conjunto A (el círculo naranja) representa, por ejemplo, todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices, y el conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar. El area donde ambos círculos se sobreponen (que recibe el nombre de intersección entre A y B, o intersección A - B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen solo dos piernas motrices.

Imaginemos ahora que cada tipo distinto de criatura viva está representado con un punto situado en alguna parte del diagrama. Los humanos y los pingüinos estarían dentro del círculo naranja (el conjunto A) en la parte en la que no se sobrepone al círculo azul (el conjunto B), ya que ambos son bípedos y no pueden volar. Los mosquitos, que tienen seis piernas motrices y pueden volar, estarían representados con un punto dentro del círculo azul fuera de la intersección A - B. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar, estarían representados por un punto dentro de la intersección A - B. Cualquier tipo de criatura que no tuviera solo dos piernas ni pudiera volar (como por ejemplo las ballenas o las serpientes), estaría representado mediante puntos fuera de ambos círculos.

El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relación entre el conjunto A y el conjunto B. El área combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B. La unión en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez.

El área donde los conjuntos A y B se entrecruzan se define como la intersección de A y B. Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas Y pueden volar. Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 3 áreas diferentes, que pueden unirse en 6 posibles combinaciones:

A (dos patas) A y B (dos patas y vuelan) A y no B (dos patas y no vuelan) no A y B (más o menos de dos patas, y vuelan) no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan) B (vuelan)

A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de conjunto universal. Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definición del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll.

Diagramas de tres conjuntos.

Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales. Más de tres conjuntos

La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representación gráfica) es bien evidente. Venn sentía afición a la búsqueda de diagramas para más de tres conjuntos, a los que definía como figuras simétricas, elegantes en sí mismas. A lo largo de su vida diseñó varias de estas representaciones usando elipses, así como indicaciones para la creación de diagramas para cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.

Diagramas de Venn de Edwards.

A. W. F. Edwards diseñó unas hermosas representaciones para diagramas de Venn de más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar facilmente tres conjuntos tomando tres hemisférios en ángulos adecuados (x=0, y=0 y z=0). Un cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes.

Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor de su colegio.

Diagrama para tres conjuntos

Diagrama para cuatro conjuntos

Diagrama para cinco conjuntos

Diagrama para seis conjuntos

Otros diagramas.

Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basaban en polígonos intersectados, con cantidades crecientes de lados.

Smith ideó diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales en ecuaciones como y=sin(2ix)/2i, 0=i=n-2.

Lewis Carroll diseñó un diagrama de cinco conjuntos.

Diagramas Similares.

Diagramas de Euler

Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Por ejemplo, en el representado a la derecha un conjunto (el A) está totalmente incluido en otro (el B), mientras que otro (el C) no tiene ninguna relación con los dos anteriores.

Supongamos que el conjunto A representa todos los tipos de queso que pueden encontrarse en el mundo, y el B representa a todos los comestibles existentes en el mundo. Según el diagrama, se ve claramente que todos los quesos son comestibles, pero no todos los comestibles son quesos. Si definimos el conjunto C como el de las cosas hechas de metal, el diagrama nos permite representar de forma evidente dos afirmaciones adicionales: los comestibles no están hechos de metal, y las cosas hechas de metal no son comestibles.

Diagrama de Johnston

Diagrama de Johnston para la expresión ni A ni B son ciertas.

Los diagramas de Johnston se usan para ilustrar afirmaciones lógicas como ni A ni B son ciertas, y son una forma visual de ilustrar tablas de verdad. Pueden ser idénticos en apariencia a diagramas de Venn, pero no representan conjuntos de elementos.

Los mapas de Karnaugh o Diagramas de Veitch son otra forma de representar de forma visual expresiones de algebra booleana.

Diagrama de Peirce.

Los diagramas de Peirce, creados por Charles Peirce, son extensiones de los diagramas de Venn que incluyen información sobre afirmaciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones[2].

Referencias

Bibliografía

  • El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Wikipedia, publicada con licencia CC-BY-SA 3.0.

Notas