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Función derivada

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Sea f una función continua, y C su curva. Sea x = a la abscisa de un punto regular, es decir donde C no hace un ángulo. En el punto A(a, f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f'(a), el número derivado de f en a.

La función a → f'(a) es la derivada de f.

Como la curva y la tangente tienen la misma dirección en el punto de contacto, conociendo el coeficiente director de la pendiente, o sea f '(a), puede uno saber a que ritmo crece o decrece la función. El signo de f '(a) determina el comportamiento de la función f (si crece o no).

En este gráfico, se ve que donde f es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f ' es positiva, como en el punto D (x = d), mientras que donde f es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f ' es negativa, como en el punto B (x = b). En los puntos A y C, que son máximo y minimo local, la tangente es horizontal, luego f '(a) = 0 = f ' (c).

Lo bueno de la función derivada es que se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, tenemos la fórmula:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Por ejemplo, sea $f (x) = x 2$ .

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 -x^2}{h}$

$.\qquad = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$

Hemos demostrado que:

$\left ( x^2 \right) ' = 2x$

A continuación una tabla que resume las principales derivadas.

Función F: primitiva de f	función f: derivada de F
$x n + k$	$n x n - 1$ , para todo n ≠ 0
$e x + k$	$e x$
$ln x + k$	$\frac{1}{x}$
$\frac{1}{x^n} + k$	$\frac{-n}{x^{n+1}}$
$cos x + k$	$- sin x$
$sin x + k$	$cos x$
$a^x,\ a > 0$	$\ln a \cdot a^x$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$a x + b$	a

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Sea f la función f(x) = 2x³ - 9x² - 24x + 51, definida sobre R. Para conocer sus variaciones miremos su derivada. f '(x) = 6x² - 18x + 24. Para encontrar el signo de f' (x), tenemos que factorizarla: f '(x) = 6(x² - 3x - 4) = 6(x + 1)(x - 4) ( lo que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado).

En la tabla se establece los signos de los factores (descartando el factor 6, siempre positivo), luego el signo de la derivada, y para terminar las variaciones de la función f.

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Notas

Bibliografía

Autor: M.Romero Schmidtke

Obtenido de «http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_derivada»

Categoría: Análisis matemático

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