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El círculo y el cuadrado sobre estas líneas presentan la misma área aunque no existe un método geométrico que permita pasar de la figura de la izquierda a la de la derecha

Resolver este problema sería más importante de lo que parece ya que así sería posible pasar la superficie de una esfera a un plano, y por lo tanto hacer un mapa perfecto. Gracias a los intentos de resolver este problema se han encontrado diversas proyecciones geográficas.

[escribe] Cuadratura de superficies rectilíneas

Los matemáticos de la Grecia clásica pronto se interesaron por cuadrar superfícies más o menos irregulares limitadas por rectas (superficies poligonales). Una superfice es cuadrable cuando, a partir de ella, es posible obtener geométricamente un cuadrado que tenga la misma área que aquella. Desde un punto de vista práctico, cuadrar superficies irregulares permitía simplificar el cálculo de sus áreas, ya que mientras podía ser fatigoso calcular el area de una superficie no regular, el cálculo del área de su cuadrado equivalente sería trivial.

Los griegos, influidos por la preeminencia de la geometría en sus matemáticas, buscaron procedimientos puramente geométricos para hallar la cuadratura de las distintas superfícies. Esto implicaba para los geómetras limitarse al uso de dos elementos tecnológicos simples como el compás y la regla. Ha de añadirse que, para los griegos, era impropio usar el compás como instrumento para transportar distancias.

Mediante los métodos de cuadratura del rectángulo y del triángulo así como mediante la descomposicón de los polígonos en triángulos, los griegos cuadraban cualquier superficie poligonal. Era posible cuadrar superficies de lados rectilíneos.

[escribe] Cuadratura del círculo

La resolución de casos particulares de cuadratura de figuras curvilíneas, como las de las lúnulas de Hipócrates, llevó a los antiguos a pensar erróneamente que se podría llegar a cuadrar el círculo

Ya en el siglo XX Tschebatorev y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse excepto los tres típos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonhard Euler en el siglo XVIII. De esta forma quedó de manifiesto que la cuadratura de la lúnula no era otra cosa que una solución excepcional de un problema irresoluble, cosa que confundió a los matemáticos durante siglos creyendo que las lúnulas podrían acercarlos a la cuadratura del círculo.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann publicó un trabajo que probaba que π es un número trascendental, de lo cual podía extraerse la conclusión -alcanzada por métodos no geométricos- de que es imposible cuadrar el círculo sólo con la regla no metrada y el compás. Esto es, el problema es irresoluble.

[escribe] Importancia de π

Siendo πR² el área del círculo y siendo b² el área del cuadrado, donde R y b son el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente, se observa que, para el cuadrado de area igual a la del círculo, . Dicho en otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo el factor de proporción.

Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener con regla y compás, es decir, se podría obtener por medio de operaciones algebraicas. Sin embargo, los números trascendentales son un subconjunto de los números reales que se caracterizann precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si π es un número trascendental, como demostró Lindemann, también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la manera griega.

[escribe] Referencias

Bibliografía

• Dunham, William, Viaje a través de los genios. Biografías y teoremas de los grandes matemáticos Madrid, 2002. Ediciones Pirámide.
  

Notas