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Cuádrica

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

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Índice

1 Definición
2 Tipos de cuádricas
3 Método de clasificación
4 Generalización
5 Referencias

[escribe] Definición

Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de segundo grado, es decir de la forma $P(x_1,x_2 ... x_n) = 0 \$ donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas $x_1, x_2 ... x_n \$ .

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y y z. Son los matemáticos griegos de la antigüedad que inauguraron el estudio de las cuádricas (sin emplear las ecuaciones) con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cuádricas en el plano bidimensional.

La definición puramente algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema. Ejemplos:

La ecuación
$x^2 + y^2 + z^2 +2xy + 2yz + 2xz = 0 \$
es de segundo grado pero, mirando bien, se escribe
$(x+y+z)^2 = 0 \$
lo que equivale a $x + y + z = 0 \$ , ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Más generalmente se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

La ecuación $x+y-xz-yz=0 \$ , de segundo grado también, se factoriza en $(x+y)\cdot (1-z) =0$ y equivale a x + y = 0 ó 1 z = 0 ; la superficie es la reunión de los planos y = - x y z = 1 y recibe el nombre de cuádrica degenerada.

Tampoco se suele aceptar ecuaciones como
$x^2 + y^2 + z^2 = -1 \$
que corresponde al conjunto vacío,
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 0 \$
que da un punto, (1; 2; 3), ni
$(x-2)^2 + (y+z)^2 = 0 \$
que da una recta, definida por x = 2 y z = - y; porque no tienen la dimensión esperada (dos) para ser una superficie.

[escribe] Tipos de cuádricas

Descartados todos estos casos, las cuádricas caen en una de las categorías siguientes: (A→B significa que B es un caso particular de A):

Elipsoide	→	elipsoide de revolución (esferoide) → esfera
Hiperboloide	→ →	hiperboloide de una hoja hiperboloide de dos hojas
Paraboloide	→ →	paraboloide elíptico → paraboloide de revolución paraboloide hiperboloico
Cono (de base elíptica)	→	cono de revolución
Cilindro	→ → →	cilindro de revolución cilindro hiperboloico cilindro parabólico

Se puede concebir el cono como el caso límite entre los hiperboloides de una y de dos hojas.

En los cilindros, solamente dos variables intervienen, la tercera no aparece en la ecuación.

[escribe] Método de clasificación

La clasificación de las formas es una rama importante de la geometría, y se hace de forma rigurosa. El criterio escogido aquí es el siguiente: dos cuádricas pertenecen a la misma categoría cuando se puede pasar de la una a la otra mediante un cambio de sistema de coordenadas. Geométricamente corresponde a una isometría (traslación y rotación) seguida de «estirados» x → a·x, y → b·y, z → c·z.

A partir de la ecuación general vamos a encontrar los distintos tipos de cuádricas.

La ecuación general es:

$ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 \$

, con los seis primeros coeficientes no simultáneamente nulos (sino sería del primer grado).
Esto se puede escribir matricialmente así:

${}^t XAX + BX + j = 0 \$

con:

$A = \begin{pmatrix} a & d/2 & e/2 \\ d/2 & b & f/2 \\ e/2 & f/2 & c \end{pmatrix}$ una matriz simétrica, $B = \begin{pmatrix} g & h & i \end{pmatrix}$ un vector línea, y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ un vector columna.

En efecto:

$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & d/2 & e/2 \\ d/2 & b & f/2 \\ e/2 & f/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz$

Por ser simétrica, la matriz A puede diagonalizarse, es decir que existe una base en la que A se escribe $D = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}$

Concretamente

$A = {}^t RDR \$

, donde R es la matriz que realiza el cambio de base (es inversible, de inverso R^-1)
La ecuación matricial inicial

${}^t XAX + BX + j = 0 \$

se reescribe:

${}^t X^tRDR X + BR^{-1}RX + j = 0 \$

Es decir:

${}^t(RX)D(RX) + BR^{-1}(RX) + j = 0 \$

Sea

$X' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = RX$

el vector posición en la nueva base, $E = \begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \end{pmatrix} = BR^{-1}$ el valor de B en la nueva base. La ecuación anterior se escribe:

${}^tX'DX' + EX' + j = 0 \$

es decir:

$\begin{pmatrix} x' & y' & z' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} + j= \alpha {x'}^2 + \beta {y'}^2 + \gamma {z'}^2 + e_1 x + e_2 y + e_3z + j = 0$

Se ha logrado así hacer desaparecer los términos rectángulos xy, xz e yz.

Si α, β y γ son todos no nulos, se puede hacer desaparecer los términos lineales (de primer grado) mediante la traslación
$x'' = x' + \frac {e_1} {2 \alpha} , \ y'' = y' + \frac {e_2} {2 \beta}, \ z'' = z' + \frac {e_3} {2 \gamma}$
se obtiene finalmente:
$\alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + \gamma {z''}^2 = K \$
con K una constante (
$K = \frac {{e_1}^2} {4\alpha} + \frac {{e_2}^2} {4\beta} + \frac {{e_3}^2} {4\gamma} - J$
).
- Si α, β y γ son del mismo signo entonces la superficie es un elipsoide cuando K tiene el mismo signo también. (Si K es del signo opuesto o nulo, se obtiene los casos descartados del conjunto vacío y del punto respectivamente).
- Si α, β y γ no son del mismo signo entonces la superficie es un hiperboloide de una hoja si K tiene el signo minoritario, de dos hojas si K tiene el signo mayoritario, y es un cono cuando K es nulo. El cono corresponde por tanto al caso frontera entre los hiperboloides de una y de dos hojas.

Si exactamente una de las tres constantes α, β y γ es nula, pongamos γ = 0, entonces no se puede hacer desaparecer la variable correspondiente (z) pero sí las demás, y se obtiene:
$\alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + e_3z'= L \$
con L una constante.
- Si e_₃ ≠ 0, por la traslación
  $z'' = z' - \frac L {e_3}$
  se obtiene:
  $\alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + e_3z'' = 0 \$
  , luego la superficie es un paraboloide, elíptico cuando α y β son del mismo signo, hiperbólico cuando α y β tienen signos opuestos.
- Si e_₃ = 0,
  $\alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 = L \$
  es la ecuación de un cilindro, elíptico cuando α y β son del mismo signo, hiperbólico cuando α y β tienen signos opuestos. L = 0 corresponde a casos descartados (un punto cuando α·β > 0, una unión de planos secantes cuando α·β < 0).

Si exactamente dos de las tres constantes α, β y γ son nulas, digamos β = γ = 0, entonces hacemos desaparecer x' con una traslación, luego
$\alpha {x''}^2 + e_2y' + e_3z'= N \$
con N una constante. Si e_₂ y e_₃ no son simultáneamente nulos, mediante una rotación en el plano (x", y") se obtiene la ecuación
$\alpha {x''}^2 + e_4y'' = N \$
luego
$\alpha {x''}^2 + e_4y''' = 0 \$
gracias a una traslación, y la superficie es un cilindro parabólico (puesto que e_₄ ≠ 0). El caso e_₂ = e_₃ = 0 corresponde a casos descartados (conjunto vacío cuando α·N < 0, unión de dos planos paralelos cuando α·N > 0, un sólo plano cuando N = 0).

En un sistema de coordenadas adecuado (ortogonal pero no normado a priori), las ecuaciones más sencillas de las cuádricas son esas:

Elipsoide	x² + y² + z² = 1
Hiperboloide	de una hoja: x² + y² = z² - 1 de dos hojas: x² + y² = z² + 1 Cono: x² + y² = z²
Paraboloide	elíptico: x² + y² = z hiperbólico: x² - y² = z
Cilindro	elíptico: x² + y² = 1 hiperbólico: x² - y² = 1 parabólico: x² = y

[escribe] Generalización

Se generaliza la noción de cuádrica en tres dominios distintos: en el espacio proyectivo, en el espacio complejo, y en dimensiones superiores.

Una ecuación de tres variables define una superficie en el espacio complejo de dimensión 3: ℂ³. Tal superficie es localmente isomorfa a ℂ², por tanto a ℝ⁴, y la mente humana tiene muchos problemas en visualizar una superficie de dimensión real 4 en un espacio de dimensión real 6 (como ℂ³).

Para entender las cuádricas complejas, se puede estudiar sus secciones por espacios tridimensionales reales.

El método para clasificar las cuádricas complejas es básicamente el mismo que para las reales; la única diferencia es que los signos de los coeficientes carecen de importancia porque la propriedad i² = -1 permite modificarlos mediante cambios de sistema de coordenadas. Por ejemplo el elipsoide x² + y² + z² = 1 da, con el cambio z' = i·z (que corresponde a una rotación de ℂ³): x² + y² - z'² = 1 lo que corresponde a un hiperboloide.

La clasificación es por tanto la siguiente:

Elipsoide - Hiperboloide	x² + y² + z² = 1
Cono	x² + y² = z²
Paraboloide	x² + y² = z
Cilindro	elíptico o hiperbólico: x² + y² = 1 parabólico: x² = y

[escribe] Referencias

Artículos relacionados
elipsoide paraboloide hiperboloide Cono cilindro espacio proyectivo matriz números complejos

Otras fuentes de información
Autor: M.Romero Schmidtke

Notas

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Categoría: Geometría

Cuádrica

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