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Criterios particulares de divisibilidad
Como la serie de números naturales es infinita solo estudiaremos los criterios especificos de divisibilidad de algunos números significativos y más usados.
Divisibilidad del 10
Todo número acabado en cero es divisible por 10
Como nuestro sistema de numeración es de base 10 y la estructura de los números es polinómica, es decir, en forma de sumas de potencias de 10. Los diversos ordenes son múltiplos de la potencia de 
que lo forman.
Ejemplo: 
; así 3000 es divisible por 1000 y los divisores de este, 700 por 100 y sus divisores, 30 por 10 y sus divisores y las unidades son divisibles por 1 y si no es primo por algún otro dígito.
Como todo número se puede descomponer en una cantidad de decenas más las unidades, entonces todo el que acabe en 0 será divisible por 10.
Ejemplo: 4589=4580+9 el primer sumando es divisible por 10 por formar 458 grupos de 10 unidades y el 9 no es divisible, luego 4589 no es divisible por 10.
Todo número que representen decenas será divisible por diez y acabará en cero.
Divisibilidad por la unidad seguida de ceros
Todo número es divisible por una unidad seguida de ceros si este tiene tantos ceros como el divisor
Tomando como base lo enunciado en la divisibilidad del 10 podemos decir que un número es divisible por 100 si acaba en dos ceros, por 1000 si acaba en 3 ceros...etc.
Divisibilidad del 2
Los números divisibles por 2 son todos aquellos que acaban en cifra par.
Las cifras pares son 0, 2, 4, 6 y 8.
DEMOSTRACIÓN:
Para hacer la demostración tendremos que tener presente las siguientes realidades:
1-Sabemos que todo número formado por una candidad de decenas (acabado en 0) es divisible por 10 y 10 es divisible por 2 al ser 10=2x5.
2-Si 10 divide a un número también lo divide el 2.
3-Todo número se puede descomponer en la suma de un total de decenas y unidades.
El número 45678=45670+8, luego 45670 es divisible por 10 y 2 y para saber si 45678 es divisible por 2 lo tendrá que ser 8, según la propiedad de divisibilidad de la suma. Luego la divisibilidad de un número por 2 dependerá si 2 divide a las unidades ya que 2 divide a cualquier cantidad de decenas.
4-Los número dígitos del 0 al 9 son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 y los divisibles por 2 serán 2,4,6,8 y las decenas 10, por ese motivo un número será divisible por 2 si acaba en cifra par.
Divisibilidad del 3
Todo número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de sus diferentes ordenes es múltiplo de 3
El valor absoluto de un número es aquel que representa el número dígito sin considerar el orden numérico ni el signo.
Ejemplo: Así en 579 los valores absolutos de cada orden son 5, 7 y 9.
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que 10=(3x3)+1, 100=(3x33)+1, 1000=(3x333)+1...etc, luego todo número se puede poner en estructura de 3 de la siguiente forma: Supongamos el número 567=500+60+7=5x((3x33)+1)+6x((3x3)+1)+7=((5x3x33)+5)+((6x3x3)+6)+7=(5x3x33)+(6x3x3)+(5+6+7) como los dos primeros sumandos son divisible, por 3 por contenerlo como factor, para que 567 sea divisible por 3 lo tendrá que ser la suma de (5+6+7), según la divisibilidad de la suma. La suma de 5+6+7=18 y 18=3x6 luego 567 es divisible por 3.
Gracias a que la unidad seguida de ceros es un multiplo de 3 más la unidad y todo número es una cantidad dígita de unidades seguidas de cero; entonces cualquier orden es igual a un multiplo de 3 mas 1 por el valor absoluto de ese orden.
De lo dicho en las líneas precedentes se desprende que la estructura de cualquier número estará formada por un múltiplo de 3 más la suma de los valores absolutos de los ordenes de ese número; luego si esa suma de los valores absolutos es divisible por 3 lo será el número según la propiedad de divisibilidad de la suma.
Divisibilidad del 4
Podemos enunciar dos criterios:
1-Todo número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son ceros o divisibles por 4
2-Todo número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son divisibles por 2 y el cociente resultante otra vez por 2.
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que 100 es divisible por 4 ya que 100=4x25.
Todo número se puede descomponer en un conjunto de centenas más decenas y unidades.
Las centenas las divide 100 y 4.
Según la propiedad de divisibilidad de la suma, para dividir 4 a un número dependera de si la cantidad de decenas más las unidades (dos últimas cifras) son divisibles por 4 ya que las centenas lo son.
Divisibilidad del 5
Los números divisibles por 5 son los acabados en cero o cinco.
DEMOSTRACIÓN:
Para hacer la demostración tendremos que tener presente las siguientes realidades:
1-Sabemos que todo número formado por una candidad de decenas (acabado en 0) es divisible por 10 y 10 es divisible por 5 al ser 10=5x2.
2-Si 10 divide a un número también lo divide el 5.
3-Todo número se puede descomponer en la suma de un total de decenas y unidades.
El número 45675=45670+5, luego 45670 es divisible por 10 y 5 y para saber si 45675 es divisible por 5, las unidades tendrán que ser 5, según la propiedad de divisibilidad de la suma. Luego la divisibilidad de un número por 5 dependerá si divide a las unidades ya que divide a cualquier cantidad de decenas.
4-Los números dígitos divisibles por 5 son el 5 y el 0 (ya que indica una cantidad exacta de decenas).
Divisibilidad del 6
Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y 3 o viceversa.
DEMOSTRACIÓN: Como 6=2x3 siendo 2 y 3 primos, cualquier número que contenga a estos dos números será divisible por 6.
El criterio práctico de divisibilidad por 6 se podría enunciar así:
Un número es divisible por 6 si termina en cifra par (divisible por 2) y si a su vez la suma de sus valores absolutos es múltiplo de 3 (divisible por tres).
Ejemplos: 48 es divisible por 6 ya que termina en cifra par y 4+8=12 que es múltiplo de 3.
Divisibilidad del 8
1-Todo número es divisible por 8 si las tres últimas cifras son ceros o divisibles por 8
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que 1000 es divisible por 8 ya que 1000=8x125.
Todo número se puede descomponer en un conjunto de millares más (centenas+decenas+unidades).
Los millares los divide 1000 y 8.
Según la propiedad de divisibilidad de la suma, para dividir 8 a un número dependera de si la cantidad de millares más (centenas+decenas+unidades), que son las tres últimas cifras, son divisibles por 8 ya que los millares lo son.
Divisibilidad del 9
Todo número es divisible por 9 si la suma de los valores absolutos de sus diferentes ordenes es múltiplo de 9
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que 10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1...etc, luego todo número se puede poner en estructura de 9 de la siguiente forma: Supongamos el número 567=500+60+7=5x(99+1)+6x(9+1)+7=((5x99)+5)+((6x9)+6)+7=(5x99)+(6x9)+(5+6+7) como los dos primeros sumandos son divisible por 9, por contenerlo como factor, para que 567 sea divisible por 9 lo tendrá que ser la suma de (5+6+7), según la divisibilidad de la suma. La suma de 5+6+7=18 y 18=9x2 luego 567 es divisible por 9.
Gracias a que cualquier unidad seguida de ceros es un multiplo de 9 más la unidad y todo número es una cantidad dígita de unidades seguidas de cero; entonces cualquier orden es igual a un multiplo de 9 mas 1 por el valor absoluto de ese orden. Así del 396 el orden 300 es igual a 3x(99+1) y el 50 es 9x(9+1) y las unidades son 6.
De lo dicho en las líneas precedentes se desprende que la estructura de cualquier número estará formada por un múltiplo de 9 más la suma de los valores absolutos de los ordenes de ese número; luego si esa suma de los valores absolutos es divisible por 9 lo será el número, según la propiedad de divisibilidad de la suma.
Divisibilidad del 11
Todo número es divisible por 11 si la suma de los valores absolutos de lugar par menos los de lugar impar da cero o múltiplo de 11
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que 10=(11-1), 100=(11x9)+1, 1000=(11x91)-1, 10000=(1111x9)+1, 100000=(11x9091)-1...etc; luego un número natural JMCDU puesto en estructura de 11 será igual a (U)+(Dx(mult.11-1))+(Cx(mult.11+1))+(Mx((mult.11-1))+(Jx(mult.11+1))..etc.
Ejemplo: Sea el número 968=900+60+8=(9x(11x9)+1))+(6x(11-1)+8=(9x11x9)+(7x11)+((9+8)-6) como los dos primeros sumandos son divisible por 11, por contenerlo como factor, para que 968 sea divisible por 11 lo tendrá que ser la operación de (9+8)-6, según la divisibilidad de la resta. La operación (9+8)-6=17-6=11 que es múltiplo de 11.
Gracias a que la unidad seguida de ceros es un multiplo de 11 más o menos la unidad si la posición es par o impar y todo número es una cantidad dígita de unidades seguidas de cero; entonces cualquier orden es igual a un multiplo de 11 mas 1 o menos 1 (según si la posición es par o impar) por el valor absoluto de ese orden.
De lo dicho en las líneas precedentes se desprende que la estructura de cualquier número estará formada por un múltiplo de 11, más la suma de los valores absolutos de lugar par, menos los de lugar impar; luego si esa operación con los valores absolutos es divisible por 11 o cero, lo será el número según la propiedad de divisibilidad de la resta.
Divisibilidad del 12
Un número es divisible por 12 si lo es por 3 y 4 o viceversa.
DEMOSTRACIÓN: Como 12=3x4 cualquier número que contenga a estos dos números será divisible por 12.
El criterio práctico de divisibilidad por 12 se podría enunciar así:
Un número es divisible por 12 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4 (divisible por 4) y si a su vez la suma de sus valores absolutos es múltiplo de 3 (divisible por tres).
Ejemplos: 348 es divisible por 12 al ser las dos últimas cifras son divisibles por 4 ya que 48=12x4 y 3+4+8=15 que es múltiplo de 3 por ser 15=3x5.
Divisibilidad del 15
Un número es divisible por 15 si lo es por 3 y 5 o viceversa.
DEMOSTRACIÓN: Como 15=3x5 cualquier número que contenga a estos dos números será divisible por 15.
El criterio práctico de divisibilidad por 15 se podría enunciar así:
Un número es divisible por 15 si su última cifra es cero o cinco (divisible por 5) y si a su vez la suma de sus valores absolutos es múltiplo de 3 (divisible por tres).
Ejemplos: 345 es divisible por 15 al ser 5 su última cifras y 3+4+5=12 que es múltiplo de 3 por ser 12=3x4.
Divisibilidad del 25
Todo número es divisible por 25 si las dos últimas cifras son ceros o divisibles por 25
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que 100 es divisible por 25 ya que 100=25x4
Todo número se puede descomponer en un conjunto de centenas más decenas y unidades.
Las centenas las divide 100 y 25.
Según la propiedad de divisibilidad de la suma, para dividir 25 a un número dependera de si la cantidad de decenas más las unidades (dos últimas cifras) son divisibles por 25 ya que las centenas lo son.
Divisibilidad del 125
Todo número es divisible por 125 si las tres últimas cifras son ceros o divisibles por 125
DEMOSTRACIÓN:
Sabemos que 1000 es divisible por 125 ya que 1000=125x8.
Todo número se puede descomponer en un conjunto de millares más (centenas+decenas+unidades).
Los millares los divide 1000 y 125.
Según la propiedad de divisibilidad de la suma, para dividir 125 a un número dependera de si la cantidad de millares más (centenas+decenas+unidades), que son las tres últimas cifras, son divisibles por 125 ya que los millares lo son.
Referencias
Los criterios de divisibilidad general se estudian aparte.
Bibliografía
- Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada.
- Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas.
- González Aguilar, Jorge. Matemáticas.
Otras fuentes de información
Notas
