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Conjuntos de Julia.

Los conjuntos de Julia, inventados por el matemático Gaston Julia es una familia de conjuntos fractales parametrizados por un complejo c así:

Para todo complejo z se construye la sucesión por inducción:

Si esta sucesión queda acotada, entonces se decide que z pertenece al conjunto de Julia de parametro c , notado J_c, y si no queda excluido del mismo.

En las imágenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión: en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto, y en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces el punto merece el honor de pertenecer al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.

Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 : x² + y² > 4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un sólo término de la sucesión que verifique |z_n| > 2 para estar seguro de que c no está en el conjunto. Existe una relación muy fuerte entre los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot, notado M, debida a la similitud de sus definiciones:

• Si c pertenece a M entonces J_c es conexo, mientras que si no, J_c estará constituido por una infinidad de puntos aislados repartidos de una manera fractal (lo que se llama polvo de Cantor por su parecido al conjunto de Cantor ).

Las imágenes más hermosas se obtienen al tomar el parámetro c en la frontera de M, porque en el interior de M, J_c toma el aspecto de un objeto bastante liso y redondo, poco fractal, y en el exterior, sólo queda polvo microscópico y disperso.

En las imágenes, se han tomado como valores de c: -1,3 + 0,00525·i ; -0,72 – 0,196·i ; -0,1 + 0,87·i y -0,51 – 0,601·i, por razones estéticas.

Se puede generalizar estos conjuntos tomando otras relaciones de inducción: z_n+1 = f(z_n) con cualquier función compleja f (va de C hacia C). Se puede también generalizar a cualquier dimensión, y empleando varias funciones en vez de una sola.

Autor: M.Romero Schmidkte