Conexidad

La conexidad es un concepto geométricamente intuitivo: Un conjunto es conexo si es de un solo pedazo. Esta "definición" puede ser suficiente en algunos contextos, o cuando se trata de formas sencillas del plano o volúmenes del espacio tridimensional usual (ver figura a la derecha).
Sin embargo las matemáticas no pueden prescindir de definiciones claras y generales de las nociones básicas.

Afinando el concepto inicial, se ha llegado a definir la conexidad por caminos:

Un conjunto C es conexo por caminos si desde cualquier punto x del mismo se puede llegar a cualquier punto y de C recorriendo un "camino continuo" que no sale del conjunto.

En la figura a la izquierda, la primera forma es conexa por caminos pues se puede juntar cualquier par de puntos por una curva en C, la segunda no lo es porque todo intento de conectar x con y implica salirse del conjunto: estos dos puntos no pertenecen al mismo componente conexo.
Queda por definir lo que son los caminos continuos para ser totalmente riguroso.

Sea una función γ continua cuyo dominio es el intervalo [0;1] y cuyo codominio es el conjunto C:

$\gamma : [0;1] \longrightarrow C$

Entonces si γ(0) = x y γ(1) = y, la función γ es un camino que va de x a y, quedando dentro del conjunto C.

Son equivalentes la conexidad y la conexidad por arcos ? Resulta que no, aunque la intuición sugiere lo contrario. En efecto un camino continuo es de longitud finita, como [0;1], y es posible crear curvas infinitas y conexas. El ejemplo más conocido es la curva de la función

$x \to \mbox {sen } \frac 1 x$

alrededor de cero, completada por el segmento vertical {0}×[-1;1] (en rojo en la figura).

curva de longitud infinita - representa la función sen(1/x) alrededor de cero - conexa pero no conexa por arcos

La curva negra presenta un sinfín de oscilaciones entre -1 y 1 y se aproxima indefinidamente del segmento rojo. Si se escogen dos puntos de la curva del mismo lado del segmento, como A y C (de abscisas negativas) entonces el camino que va del uno al otro es finito, pero si se toman dos puntos de un lado y otro del segmento (como A y B, de abscisas negativa y positiva), el camino será de longitud infinita. Esta curva es conexa porque no hay manera de separar los componentes negros del segmento rojo: se tocan tan íntimamente como lo hacen los intervalos [-1;0[ y ]0;1] con {0}.

Al haber utilizado el segmento [0;1] y la continuidad, se ha introducido nociones de los espacios métricos como la longitud, mientrás que la conexidad es a priori un concepto puramente topológico. De allí la necesidad de hallar una definición más general de la conexidad.

Según el punto de vista topológico, los conjuntos {0} y ]0; 1] no deben ser « separables » es decir pertenecer a dos componentes conexos distintos, porque siendo en ]0;1[ uno se puede aproximar indefinidamente de {0}, por ejemplo con la sucesión $1 \over n$: 0 es un valor de adherencia de ]0; 1].

Más generalmente, para hablar de dos componentes « separados » A y B, los puntos de adherencia de uno no debe pertenecer a la otra:

$\bar A \cap B = \empty$

y simétricamente

$\bar B \cap A = \empty$

, donde

$\bar A$

denota la clausura topológica de A, es decir el conjunto de sus puntos de adherencia. Esto sucede cuando existen dos abiertos U y V tales que

$A \subset U$

y

$B \subset V$

con

$U \cap V = \empty$

(ver figura).
En efecto tenemos

$A \subset { }^c V$

que es cerrado como complementario de un abierto, luego (pasando a la clausura topológica)

$\bar A \subset { }^c V$

, es decir

$\bar A \cap V = \empty$

, y como

$B \subset V$

esto implica

$\bar A \cap B= \empty$

.
Se establece del mismo modo que

$\bar B \cap A= \empty$

.

En términos de topología restringida (ver cuadro) las cosas se expresan muy sencillamente:

Los subconjuntos A y B son componentes separados cuando son abiertos para la topología restringida del subconjunto

$S = A \cup B$

. En efecto, en la figura anterior

$A = S \cap U$

es abierto de S porque U es abierto y

$B = S \cap V$

es abierto de S porque V es abierto.

Como A y B son complementarios en S, son también ambos cerrados.
Se llega así a la propiedad fundamental siguiente:

Un subconjunto S de un espacio topológico es conexo si su topología restringida
NO tiene conjuntos a la vez abiertos y cerrados salvo el mismo y el conjunto vacío (que siempre lo son).

Esto se generaliza a cualquier espacio topológico, y se reformula así:

Un espacio topológico E es conexo si sus únicos abiertos-cerrados son E y ∅

Autor: M.Romero Schmidtke