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Compacidad (matemáticas)

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Definiciones

La compacidad es una concepto fundamental de las matemáticas. Es parte del dominio de la topología pero sus consecuencias más importantes son relativas al análisis.

Se puede definir indinstinctamente de la compacidad de un espacio topológico K, o de un subespacio K de un espacio topológico E. En el segundo caso, se considera la topología restringida a K (ver primer recuadro).

Compacto topología restringida.png

Un conjunto K es compacto si de cualquier recubrimiento por una infinidad de abiertos es posible extraer un recubrimiento finito, es decir compuesto por un número finito de abiertos.

Formalmente se escribe así: K \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i \  \Longrightarrow \ \left ( \exists J \subseteq I,\  \# J < \infty , \ K \subseteq \bigcup_{j \in J} A_j \right ) , con los A_i abiertos de E.

Para la topología restringida a K, se escribe: K = \bigcup_{i \in I} A_i \  \Longrightarrow \ \left ( \exists J \subseteq I,\  \# J < \infty , \ K = \bigcup_{j \in J} A_j \right ) , donde los A_i son esta vez abiertos de K.

Recubrimiento por abiertos de un compacto
K está recubierto por una infinidad de bolas (en la figura se han representado unas cien) luego es posible escoger un número finito de ellas
(16 en la figura) que bastan par recubrir totalmente K.

Trabajar con el infinito es algo que siempre se trata de evitar en matemática porque son muy escasos los razonamientos o las construcciones válidas sobre un conjunto infinito de objetos. Por ejemplo un conjunto infinito de números no tiene porque ser acotado, mientras uno finito siempre lo será.
La compacidad permite justamente reducirse a lo finito. Como consecuencia de lo anterior, una función continua sobre un compacto es acotada.

La definición es algo abstracta, y, en el caso de los espacios métricos y más generalmente en los espacios vectoriales normados, se suele remplazar por otra equivalente, más práctica:

Teorema y segunda caracterización:

Los compactos de un espacio vectorial normado son los subconjuntpos K tales que toda sucesión que toma sus valores en K tienen valores de adherencia en K, es decir que se puede extraer una subsucesión convergente en K.

Prueba:

Supongamos que para todo x en K, x no sea valor de adherencia. entonces existe una bola abierta centrada en x, de radio εx tal que a partir de un rango Nx, los términos un se hallan fuera de dicha bola. En otras palabras, la Bola abierta B(X, εx) sólo contiene un número finito de términos de la sucesión.
Pero la reunión de estas bolas forman un recubrimiento de K, luego se puede extraer un recubrimiento finito. Un número finito de bolas que contienen cada cual un número finito de un no puede contener la infinidad de términos de la sucesión, por tanto la hipótesis es absurda. La recíproca se demostraría de manera parecida (aunque es algo más complicada), por tanto hay equivalencia.

Teorema: En los espacios vectoriales normados de dimensión finita, los compactos son los conjuntos acotados y cerrados.

Lo que no puede ser compacto

Estas condiciones son obviamente necesarias: En un conjunto no cerrado se puede escoger un punto de la frontera del conjunto, no incluido en él, y construir una sucesión que converge hacia este punto (figura de izquierda): su único punto de adherencia será su límite y se encontrará fuera del conjunto; de la misma manera, En un conjunto no acotado es fácil crear una sucesión que se aleja hacia el infinito a partir de un punto dado (figura de derecha), y que por tanto no tiene valores de adherencia. Esta última condición se puede demostrar así: K está recubierto por la unión de las bolas B(x,1), con x que recorre todo K; se extrae un recubrumiento finito B(xi, 1) obviamente acotado (un número finito de bolas de radio finito da un conjunto acotado, es decir incluido en una bola única de radio finito).

Reciprocamente: Los espacios métricos son completos (las sucesiones de Cauchy convergen) y esta propiedad se trasmite a sus partes cerradas. En un espacio acotado, por un proceso que generaliza la dicotomía en la recta real, es posible extraer una sucesión de Cauchy de una sucesión cualquiera dada: Como ya dicho K es la reunión de un número finito de bolas; por lo menos una de ellas contiene una infinidad de términos de la sucesión (prueba ad absurdum); se escoge un elemento en ella, y luego se recubre la bola por un número finito de bolas de radio 1 \over 2. Una de ellas contiene un sinfín de términos de la sucesión, se elige un elemento en ella, y se repite la operación con bolas de radio \frac 1 4, \frac 1 8 \ \  ... \ \  \frac 1 {2^n} \ \  ... . La sucesión extraida así es de Cauchy y por la completud converge. Como es cierto para toda sucesión, el conjunto K es compacto.


Aplicaciones

Por «función» entendemos «función real o compleja».

En particular, una función real sobre un intervalo cerrado alcanza sus valores extremos.

Es una consecuecia del que la imagen de un compacto por una función continua es compacto, y los compactos son acotados.
  • Toda función continua sobre un compacto lo es de forma uniforme.
  • Toda biyección continua entre dos compactos es un isomorfismo, es decir que la función recíproca también es continua.

Compactificados

Como resulta más agradable trabajar en espacios compactos, se han inventado varias maneras de completar los conjuntos usuales (R y C) para hacerlos compactos. Este proceso se llama compactificación y su resultado un compactificado. Como se tratan de espacios topológicos, no basta con añadir puntos sino que hay que definir la topología alrededor de ellos.

El caso más fructífero es el del conjunto C de los complejos que se compactifica en la esfera de Riemann , y R que se puede compactificar en R U {∞} o R U {-∞; + ∞} según las necesidades.

Veamos como proceder. C y R no son compactos porque no son acotados, y esto no va a mejorar añadiendo más puntos. Entonces es preciso redefinir la distancia para acotarla: en vez de d(a,b) = |b-a| se puede utilizar δ(a,b) = |th(b)- th(a)| por ejemplo en R (th es la tangente hiperbólica). Luego si consideramos la sucesión de los enteros naturales, esta no tiene valor de adherencia pero intuitivamente tiende hacia el infinito. Entonces se define un punto infinito, denotado ∞ o ω que será límite de esta sucesión y de paso valor de adherencia de todas las que no son acotadas. Así, toda sucesión tiene valor de adherencia (si es acotada, tiene sus valores en una bola cerrada Bc(0, r) que es compacta, luego tiene valor de adherencia, y en el caso contrario ∞ es un valor de adherencia).

Otro modo de proceder es considerar la topología en vez de la métrica: como el problema surge hacia el infinito, la idea es añadir un punto infinito cuyos entornos (vecindades) son los conjuntos que contienen todos los puntos cuya distancia al origen es superior a un cierto real r. Así el problema (de no estar acotado) está tapado bajo la alfombra de un entorno del infinito, y el complementario de un tal entorno será un conjunto acotado, y si el entorno es abierto, el complemento es un compacto, luego se puede extraer un recubrimiento finito de todo recubrimiento por abiertos.

Se obtiene así el compactificado de Alexandrov, para R, C o cualquier espacio vectorial R n.

Nótese que R U {∞} es topológicamente equivalente a un círculo (circunferencia) y C U {ω} a una esfera: Se coloca el punto infinito afuera de la recta real o del plano complejo y se trae hacia él las partes más alejadas.


Autor: M.Romero Schmidtke