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Coeficiente de asimetría

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Para una variable aleatoria real discreta o continua X, o para una serie estadística, se define su coeficiente de asimetría como el momento centrado y normado de orden 3:

\gamma_1 = E \left ( {X^*}^3 \right ) =  E \left ( \left ( \frac {X-m_1} {\sigma}   \right  )^3 \right )  = \frac { E \left ( (X-m_1)^3  \right )} {\sigma^3} = \frac {\mu_3} {\sigma^3} \ = \ \frac {\mu_3} {{\mu_2}^{\frac 3 2}}, donde
X^* = \frac {X-m_1} {\sigma}
es la variable centrada y normada de X, siendo m_1 \mbox{ y } \sigma \, respectivamente la esperanza y la desviación estándar de X.


Coeficiente de asimetría.png
cuatro funciones de densidad de probabilidad con sendos coeficientes de asimetría

Distribuciones simétricas, como lo es la distribución normal (figura 1) tienen naturalemente un coeficiente de asimetría nulo.

Un coeficiente de asimetría positivo corresponden a distribuciones cuya parte a la derecha de la media es más larga, en un sentido intuitivo, que al otro lado. La asimetría es negativa en el caso opuesto. Las figuras 3 y 4 ilustran el caso positivo (se han dibujado en gris la parte simétrica de la distribución, para evidenciar su asimetría) y corresponden a las densidades de probabilidad f(x) = \frac 1 2 x^2 e^{-x} \  \mbox{ y } \ f(x) = x e^{-x} \, respectivamente.

La distribución de la figura 2 es una suma (más precisamente una combinación lineal) de dos distribuciones normales, una de menor amplitud que modifica la principal aumentando el peso de su cola izquierda, lo que da un coeficiente de asimetría negativo.

Para hacer más concreta esta noción se detallan los cálculos en un ejemplo sencillo de distribución.

Asimetría de una distribución ejemplo 1.png
tres curvas de la familia

Consideremos la familia de distribuciones  f_k ( x) =  \left \{ \begin{matrix} {\frac 1 2} &  \mbox{si } x \in  \ [-1; 0]&  \\ {\frac 1 {2k}} & \mbox{si }  x \in \ ]0; k], \ \ & k > 0  \\ 0  &  \mbox{si } x \not\in \  [-1; k] &  \end{matrix} \right.

Cuando mayor es k, más alargada y estrecha es la cola derecha. El valor k = 1 corresponde a una curva simétrica. Cuando k < 1 la cola derecha es más corta y ancha que la izquierda.

Calculemos primero los distintos momentos ordinarios:

m_1 = \int_{-1}^k x f(x) dx \ = \ \int_{-1}^0 \frac x 2 \, dx \ + \ \int_0^k \frac x {2k} \, dx \ = \ \left [ \frac  {x^2} 4 \right ]_{-1}^0 + \ \left [ \frac  {x^2} {4k} \right ]_0^k = \frac {k - 1} 4   (es la media)

m_2 = \int_{-1}^k x^2 f(x) dx \ = \ \int_{-1}^0 \frac {x^2} 2 \, dx \ + \ \int_0^k \frac {x^2} {2k} \, dx \ = \ \left [ \frac  {x^3} 6 \right ]_{-1}^0 + \ \left [ \frac  {x^3} {6k} \right ]_0^k = \frac {k^2 + 1} 6

m_3 = \int_{-1}^k x^3 f(x) dx \ = \ \int_{-1}^0 \frac {x^3} 2 \, dx \ + \ \int_0^k \frac {x^3} {2k} \, dx \ = \ \left [ \frac  {x^4} 8 \right ]_{-1}^0 + \ \left [ \frac  {x^4} {8k} \right ]_0^k = \frac {k^3 - 1} 8

Luego los momentos centrados son:   \mu_2 \ = \ m_2 \ - \ m_1^2 \ = \ \frac {k^2+ 1} 6 \ - \ \left ( \frac {k-1} 4  \right )^2 \ = \ \frac {8(k^2+1)-3(k-1)^2}  {48} = \frac {5k^2 + 6k + 5} {48}   (es la varianza, siempre positiva)

\mu_3 \ = \ m_3 \ - \ 3 m_1 m_2 + 2 m_1^3  \ = \ \frac {k^3-1} 8 - 3 \left (\frac {k - 1} 4   \right ) \left (  \frac{k^2 + 1} 6   \right ) \ + \ \left (\frac {k - 1} 4   \right )^3  = \frac {(k-1)(k^2 + k + 1)} 8 \ - \  \frac {(k-1)(k^2 + 1)} 8 \ + \ \frac {(k - 1)^3    }  {4 \times 8} \ = \ \frac {(k-1)k} 8 \ + \ \frac {k - 1} 8 \times \frac {(k-1)^2} 4 \ = \ \frac {k - 1} {4 \times 8} \left [  4 k + (k-1)^2 \right ] \ = \ \frac {(k-1)(k+1)^2}  {32}.

El signo de \mu_3 es el de k - 1 , mientras que el de \mu_2 es siempre positivo; por consiguiente el signo del coeficiente de asimetría \gamma_1 \ = \ \frac {\mu_3} {{\mu_2}^{\frac 3 2}} \ = \ \frac {6 \sqrt{3}(k - 1)(1 + k)^2  } {(5k^2 + 6k + 5 )^{\frac 3 2}   }   será el de k - 1; positivo cuando k > 1 es decir cuando la cola derecha es más larga y estrecha que la izquierda, y negativo en el caso contrario.

Otra propiedad: cuando se cambia k por su inverso, γ1 se cambia en su opuesto. Esto se justifica geoétricamente: si se dilata horizontalmente de un factor k la curva de fk y verticalmente de un factor \frac 1 k, no se modifica su coeficiente de asimetría (lo anterior equivale a considerar la densidad de la nueva variable aleatoria Y = kX, donde X tiene como densidad fk) se obtiene la curva simétrica de f_{\frac 1 k} con relación al eje de las ordenadas, es decir la curva de  x \mapsto f_{\frac 1 k} (- x) , y la trasformación x \mapsto - x cambia el signo del coeficiente de asimetría.

Referencias

Bibliografía

Notas