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Coeficiente binomial y triángulo de Pascal

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V Generalización

I Triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal.png

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas diez primeras líneas han sido representadas en la figura:

Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el « 1 » de la cumbre. De una línea a la siguiente se conviene escribir los números con un desfase de media casilla. Así, las casillas (que no se dibujan) tendrán cada una dos casillas justo encima, en la línea anterior. El valor que se escribe en una casilla es la suma de los valores de las dos casillas encima de ella. El valor cero no se escribe.

Por ejemplo, en la última línea dibujada, el cuarto valor es 84 = 28 + 56, suma del tercer y cuarto valor de la línea anterior.

Se observa, y no es difícil demostrarlo, que la capa exterior está formada de unos, la segunda capa de los naturales en orden creciente, que los números no hacen más que subir de una línea a la siguiente y que existe un eje de simetría vertical que pasa por el vértice.

Sin embargo, el interés de este triángulo no radica en estas propiedades, sino en el vínculo que tiene con la álgebra elemental. En efecto, las cifras 1; 2; 1 y 1; 3; 3; 1 recuerdan las identidades:

    y     

pues son los coeficientes de sus monomios. Este parecido no es casual y se generaliza a cualquier potencia del binomio a + b.

II Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton

La fórmula que da el desarrollo de según las potencias crecientes de a (y decrecientes de b) se llama binomio de Newton. En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios .

Teorema

Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n son dados
por la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

Prueba

Hemos visto mas arriba que era cierto para n = 2 y n = 3. También lo es para n = 0: (a + b)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)1 = a + b = 1·a + 1·b.
Para establecer el resultado para cualquier valor de n∈N, lo más natural es proceder por inducción. Suponiendo que es cierto para un valor de n, hay que deducir que lo es también para n+1. En vez de hacerlo en el caso general (sería poco claro) miremos que sucede al pasar de la línea n = 3 a la línea n = 4.

Triángulo Pascal binomio Newton.png


Como lo muestra la figura, el desarrollo de (a + b)4 consiste en dos copias del desarrollo de (a + b)3. Están desfasadas (una corresponde a a·(a + b)3 y la otra a b·(a + b)3) y cuando se suman, un mismo coeficiente aparece en una posición dada y otra vez a un paso a la derecha.
Si se considera sólo los coeficientes, inscritos en sendas casillas, obtenemos la suma siguiente:


Triángulo Pascal binomio Newton 2.png

y obviamente no hace falta escribir dos veces las mismas cifras: la suma consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente inmediatamente a su derecha (el 1 con el 3, el 3 con el segundo 3, etc) y esto es justamente lo que se hace en el triángulo de Pascal. En otras palabras, el triángulo simula la multiplicación por a + b, de una línea a la siguiente.

III coeficientes del binomio de Newton

Triángulo de Pascal en tabla.png

Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la línea n y la columna p se denota:

o más raramente

("C" por "combinación") cuando la primera notación no es realizable (por ejemplo en calculadoras de bolsillo, como la TI 82 y familia), y se dice "k entre n", mucho más corto que "coeficiente binomial n,k". Las casillas vacías corresponden a valores nulos.

Por definición misma, tenemos, (para todo n natural): para cualquier valor de a y b.

De hecho, es una igualdad de polinomios en Z[a,b]. Sin perder en generalidad, resulta a veces más práctica
la "definición" : vista como una igualdad de polinomios en Z[X].

De esta fórmula se deducen dos consecuencias:

· Tomando X = 1 se obtiene:  : la suma de los coeficientes de una misma línea vale 2n.

En efecto: 1 = 20, 1 + 1 = 2 = 21, 1 + 2 + 1 = 4 = 22, 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 ...

· Con X = -1 se obtiene, (n > 0):  : la suma alterna de los números de una misma línea vale 0.

En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ...

Las propiedades que hemos observado en el triángulo se pueden ahorra escribir con todo rigor:

.

(costados izquierdos y derechos del triángulo).

.

("segunda capa").

.

(simetría respecto al eje vertical del triángulo).

.

cuando p > n (corresponde a la zona fuera del triángulo).
Y claro, la regla de construcción del triángulo da la relación fundamentalde los coeficientes binomiales:

.

Triángulo de Pascal colores.png


IV interpretación en combinatoria

Los coeficientes binomiales son la base misma de la combinatoria. Veamos porque. Tomemos de nuevo un binomio, por ejemplo , y desarollémoslo, pero de una manera distinta del párrafo anterior:


luego quitemos las paréntesis, pero sin cambiar el orden en los productos, es decir sin aplicar la conmutatividad:


Y agrupemos los términos que contienen el mismo número de a, (y de b):

El primer paréntesis contiene todas las palabras constituidas de un b y dos a. En este caso, es fácil ver que hay exactamente tres. En el caso general, para contar las palabras, hay que aplicar la conmutatividad, pues las palabras que contienen el mismo número de a y b darán el mismo término:

El primer factor 3, que es cuenta las tres palabras mensionadas (aab, aba y baa).

El segundo factor 3, que es cuenta las palabras hechas de dos b y un a (abb, bab y bba).

Obviamente, sólo hay una palabra de tres letras constituidas de a solamente, y esto corresponde al monomio 1·a3, con 1 = ( «0» por ninguna b).

En vez de hablar de palabras formadas con a y b, es equivalente imaginar una hilera de n cajones inicialmente vacíos, y p bolas intercambiables que se tienen que repartir, en cada cajón no cabiendo más de una. Se trata en todos casos de repartir p objetos entre n sitios posibles, o de escoger un grupo de p objetos/sitios entre n objetos/sitios. De ahí la apelación p entre n.

Todo lo anterior lleva al teorema:

Hay exactamente maneras de escoger un conjunto de p elementos entre n elementos

En matemática formal, se prefiere hablar de conjuntos:

Existen subconjuntos de cardenal p en un conjunto de cardenal n.

Este punto de vista permite hallar la fórmula para los coeficientes binomiales. En efecto, para elegir el « primer » elemento, hay n posibilidades, luego para escoger el segundo quedan n-1 posibilidades y así sucesivamente hasta el element número p, que tiene n-p+1. El orden en el que se ha elegido estos p elementos no importa, se podía haber obtenido el mismo subconjunto de p elementos en otro orden. Hay p! permutaciones posibles de estos p elementos, es decir p! maneras de obtener el mismo conjunto.

Por tanto hay subconjuntos posibles.

En conclusión:

Verifiquémoslo en un ejemplo:

En el triángulo, el valor en la quinta línea y segunda columna es 10. Para rematar, listemos las palabras de cinco letras formadas de 2 a y 5-2 = 3 b (en el orden alfabético, o en el orden creciente considerando que a es la cifra 0 y b la cifra 1):

aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba,bbaab, bbaba, bbbaa.

La fórmula permite verificar todas las propiedades del párrafo anterior, sin embargo se puede prescindir de los cálculos en la mayoría de los casos, con tal de manipular los conceptos idóneos.

Partición en dos de un conjunto.png

Un subconjunto A de E define una partición de E en dos partes E = A ∪ B , con A ∩ B = {}= ∅ (conjunto vacío). Aquí es el complementario de A en E.

Da lo mismo escoger los p elementos de A que los n-p elementos de .
Esto justifica, sin cálculo, la simetría .

Si p > n, no hay subconjuntos de E con p elementos, porque E contiene sólo n, luego

También son evidentes las igualdades y porque, en el primer caso, hay tantas maneras de escoger subconjunto de tamaño 1 que de elementos de E, y en el segundo caso, sólo existe un conjunto con cero elemento: el conjunto vacío.

La regla fundamental también tiene explicación gráfica:

Prueba: se escoge un elemento e cualquiera de E, que contiene n+1 elementos: E = E' ∪ {e}. Luego se consideran los subconjuntos A de E de cardenal p+1. Son de dos tipos: o contienen e, o no.

Si eA, entonces falta elegir p elementos de E' para completar A. Hay posibilidades.

Si e ∉ A, entonces falta elegir p+1 elementos de E' para definir A. Hay posibilidades.

Sumando los dos casos, se obtiene todos las partes de p+1 elementos de E, constituido de n+1 elementos. Luego

Un ejemplo:

Suma de binomiales figura.png


Aquí va una propiedad aritmética, sin interpretación geométrica: cuando n es primo, los coeficientes binomiales en la línea n son divisibles por n, excepto los dos bordes de la misma (que valen 1). Escrito formalmente:

Teorema :

Triángulo de Pascal con n primo.png

En la figura, los ejemplos están en verde, y los contraejemplos (cuando n no es primo y p divide n) en amarillo.

Prueba: en la fracción el factor primo n aparece una vez en el numerador y nunca en el denomininador que es un producto de enteros entre 1 y n-1. Por tanto la fracción es divisible por n.


En vez de considerar las potencias de a + b, se puede mirar las del trinomio a + b + c.
(a + b + c)n es una suma de monomios de la forma λp,q,r ap·bq·cr, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λp,q,r un natural que se tendría que llamar coeficiente trinomial.

Partición de un conjunto.png

Los cálculos son similares a los del coeficiente binomial, y dan la expresión siguiente:


Corresponde al número de partición en tres de un conjunto de n elementos, en subconjuntos de p, q y r elementos. Un ejemplo:

Pirámide de Pascal.png

Estos coeficientes se pueden hallar en la analogía tridimensional del triángulo de Pascal: Se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, es también infinita, con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.

Se ha dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre.

Se observa una invarianza por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice.

El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.

Está claro que todo esto se puede generalizar a dimensiones finitas cualquieras, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos.

VI Historia

Este triángulo, redescubierto por Blaise Pascal en el siglo XVII, era conocido por otras civilizaciones mucho antes: El documento más antiguo que lo menciona es el libro del matemático chino Zhu Shijie, «El espejo de jade de los cuatro elementos» (1303) donde describe un método para resolver ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas (los elementos). En él el autor afirma que el triángulo era conocido desde más de dos siglos; es decir cinco siglos antes de Pascal.
Los matemáticos persas Al-Karaji (953 - 1029) y Omar Jayyam (siglo XI) también lo mencionaron en sus escritos.

Para acabar, una curiosidad: si se colorea en negro los números impares del triángulo, y en blanco los pares, se obtiene una figura fractal: el triángulo de Sierpinski.


Autor: M.Romero Schmidtke