Categorías y fundamentos

A veces la fría "contemplación" matemática no sirve para la presentación adecuada de "lo que está pasando". Para mantener el espíritu "objetivo" que requiere esta enciclopedia insistiré desde el principio en que esta teoría puede convivir y convive con todo lo demás, y que afirmaciones como la del físico John Báez, que "todo encaja en el bello marco de esta teoría", son debidas a que estamos tratando con un tema muy delicado: los fundamentos de la matemática. Tema que es polémico en sí y que requiere de cierto modo de "no ser objetivos". Las intuiciones requieren decisiones, las decisiones se basan en anteriores intuiciones, en anteriores decisiones, pero no por completo. Existe cierto Real ahistórico que provoca transformaciones, no todo es "historia".

• objetos: {A, B, C, ...}.

Pero lo importante en una categoría son las:<p>

• flechas: {f, g, h, ...}. Existen flechas entre los objetos.

Y cada flecha,<p>

• f  : A ---> B

tiene asignado un objeto (di por ejemplo "A") de "origen" (dominio) y otro objeto (di por ejemplo "B") de llegada (codominio). Esto casi es lo mismo que tenemos en la definición de "función", "aplicación". Si no os han contado alguna vez las funciones mirad más abajo en el ejemplo de categoría que vamos a poner.

Las reglas que cumplen las flechas en cada categoría son, básicamente:

• COMPONIBILIDAD: si tengo una flecha "f" de A hacia B y otra flecha "g" de B a C, entonces ¡tengo una de A a C!: llamada " (g · f) " (ojo: ¡NO se escribe (f · g)  ! ¡ "el orden" es en cierto modo al revés que como se escribe !)

• ¡ASOCIATIVIDAD! Os lo imaginaréis ya quizá: si tengo 3 flechas<p> "f" : A -----> B, <p> "g" : B -----> C <p> "h" : C -----> D, <p> será lo mismo "ir" de A a D pasando por la compuesta de g con h, (h · g), (que va de B a D) con lo que hacemos este "camino": <p> (h · g) · f <p> , que "ir" de A a D pasando por la compuesta de f con g:(g ·f), que va de B a C, haciendo este otro: <p> h · (g · f). <p> Esto es: (h · g) · f = h · (g · f)<p>

• IDENTIDADES. Todo objeto "A" tiene que tener una flecha y sólo una que salga y entre en él: <p>A -----> A <p>

Todo esto tiene que "conectar" bien. Pero más o menos hemos terminado de definir qué es una categoría. (Habría que poner un ejemplo, abajo lo intentamos con la categoría "conjuntos finitos").<p>

Ahora sigamos esta introducción saltando a otra cosa.<p>

"Conjuntos finitos" es la categoría que consiste en: <p>

• "Objetos": los objetos son los conjuntos, "bolsas", "fundas" con una cantidad finita de bolitas y <p>

• "Morfismos": que son las simples aplicaciones entre las bolsas. El concepto de aplicación debe ser recordado: una aplicación del conjunto A al conjunto B debe asignar un elemento de B ¡A CADA! elemento de A. Esto es, para todo a en A, que elijamos, debe existir un b en B que sea "imagen" de dicho a en A. Si el concepto de aplicación no fuera posible ni útil no existiría esta categoría, pues la componibilidad y la asociatividad de las flechas, que son en realidad las cosas más fundamentales en matemáticas, nos obligan a definir como acabamos de hacer el concepto de aplicación. <p>

Queremos mostrar cómo lo que perseguimos es el generalizar fenómenos básicos que ocurren en la categoría de "conjuntos finitos"; con ello vamos a poder dar un sentido interno y objetivo a la lógica en otras categorías.<p>

La lógica contiene la posibilidad de decir que algo sea verdadero o falso. Por ejemplo, si tenemos una bolsa de bolitas, A, podemos preguntarnos cuáles de esas bolas cumplen cierta propiedad (ser rojas). Entonces, como véis, podéis asociar una cierta aplicación del conjunto A de bolas hacia un conjunto con dos elementos:<p>

{ v , f}<p>

, (v por "verdadero" y f por "falso"), y que podéis visualizar como una bolsa que contiene dos bolas que llamamos "v" y "f". Esta aplicación lleva cada bola roja en A hacia "v" y cada bola en A que sea de otro color hacia f (contamos con que sus colores están bien diferenciados). <p>

Este es cierto "rasgo" de la lógica, que, como véis, hemos relacionado con lo que es importante para nuestro concepto de categoría y en la categoría en la que nos encontramos: la flecha, el morfismo.<p>

Esto que acabamos de hacer aclara este hecho: a cada parte de un conjunto dado A, osea, la parte de un conjunto que cumple cierta propiedad ("ser la parte de A que consiste en todas sus bolas rojas"), podemos asociar ¡una, y sólo una! flecha hacia el conjunto { v, f }. Este conjunto se llama "objeto de valores de verdad", y como véis ¡pertenece a esta categoría concreta!: es simplemente el conjunto de dos bolas, ¡ el 2 !<p>

{"verdadero", "falso"} <p>

Acabamos de objetivar cierto rasgo de la lógica en una categoría; una categoría simple pero muy útil para suministrarnos "intuiciones", la de los "conjuntos finitos". Los demás conceptos de la lógica, los cuantificadores lógicos (el "existe", el "para todo"...), etc, tendrán su "objetivización" correspondiente, pero siempre en términos de lo que tenemos en nuestro universo, es decir, de flechas y objetos, por eso decimos "objetivar". <p>

Ahora bien, y es cuando viene una idea curiosísima. <p> ¿Y en otras categorías? ¿Se podrá hacer esto en todas?<p> ¿En cuáles?<p> Esto es, ¿habría por ejemplo "objetos de valores de verdad" en otras? <p>

Pues sí, para esto se han inventado un tipo de categorías, llamadas Topos. para que una categoría, para que cierto universo de relaciones, sea un topos, esto es, se comporte como la de conjuntos finitos (tenga un cierto "objeto de valores de verdad", etc...), debe cumplir ciertas "reglas", que cumple la categoría "conjuntos finitos" (sólo hemos "visto" la del "objeto de valores de verdad"). Pero cuidado, fijarse por ejemplo en que el objeto "valores de verdad" ¡no va a tener por qué ser el simple 2!, ya que ¿qué es 2 en otro universo matemático que no sea el de "conjuntos finitos"? Pensad que los objetos en otras categorías pueden ser cosas y son cosas muy distintas que "bolsas de bolitas". Los universos del ser-matemático, del ser, son algo muy loco --el ser está muy loco--, no son tan sencillos como "conjuntos finitos". <p>

Así que en un topos --como vimos que ocurre en "conjuntos finitos"-- a toda parte de cierto objeto "A", a todo subobjeto de A, se le va a poder asociar una flecha desde el objeto del cual es subobjeto hacia el objeto "valores de verdad". <p>

William Lawvere y los desarrolladores de estas teorías han permitido a un filósofo muy aclarador, francés, que también está vivo y se llama Alain Badiou, decir cosas como las siguientes en relación a la internalización de la lógica. (La lógica es cierta "dimensión" interna a cada universo matemático, en cada categoría que sea un Topos, y por cierto, cuando Badiou dice "ontología" es como si dijera "matemáticas"):

"Así se cumple el deseo de Aristóteles: que la lógica se prescriba ontológicamente. Prescripción ejercida, sin embargo, no a partir de la equivocidad del ser, sino, al contrario, a partir de su univocidad. Cosa que arrastra a la filosofía, sometida a la condición de las matemáticas, a repensar el ser según lo que a mi parecer es su programa contemporáneo: el de comprender cómo es posible que una situación cualquiera del ser sea a la vez multiplicidad pura en los linderos de la inconsistencia, e intrínseca y sólida vinculación de su aparecer."

Aclaremos más. Gracias a la teoría de las categorías podemos hablar internamente (y matemáticamente, dándole un cierto ser) de la lógica. De una lógica que da cuenta del aparecer, en cada universo. Este aparecer tiene un ser, puesto que es matemáticas, la teoría de las categorías es matemáticas, es cierta "observación matemática desde fuera" del mundo de relaciones en un universo matemático; es una disciplina más de la ciencia del ser-en-tanto-que-ser, de la matemática. A la vez en cierto modo es lógica. Por eso se podrá decir: "la lógica se prescribe matemáticamente,ontológicamente". Y como también dice Badiou: "La teoría de los topoi da razón de la pluralidad de las lógicas posibles. (...), esta teoría es efectivamente, lógica matemática. Es decir, en el interior de la ontología, es ciencia del aparecer, ciencia de lo que significa que toda verdad del ser sea irremediablemente una verdad local".<p>

(Se pueden ver estos textos en: "Breve tratado de ontología transitoria". Alain Badiou. Gedisa editorial. 2002)<p>

• Sobre materiales y gentes:

El libro básico de Lawvere & Schanuel está traducido al castellano: Matemáticas conceptuales: una primera introducción a categorías, siglo XXI, 2002.

En internet existen gran cantidad de materiales en inglés sobre la teoría de las categorías. Podéis visitar y buscar con el Google páginas y textos más o menos divulgativos del propio Lawvere, del físico matemático John Báez... etc.