Asociatividad

Sea E un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna *, es decir una aplicación:

$\begin{matrix} E \times E & \to & E \\ (x, y) & \mapsto & x*y \end{matrix}$

Se dice que $* \$ es asociativa si verifica para todo (x,y,z) de E³ la igualdad $x*(y*z) = (x*y)*z \$, donde las paréntesis indican que hay que hacer la operación interna antes de hacer la operación externa.

El diagrama conmutativo (derecha) resume la propiedad, en términos de composición de funciones: Partiendo del E×E×E central, el resultado será el mismo si se toma el camino de arriba o de abajo.

Ejemplos fundamentales: En el conjunto ℂ de los números complejos, y por restricción, en el conjunto ℝ de los números reales, la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones asociativas.

En general, las operaciones no asociativas no despiertan un interés descomunal en la comunidad matemática. Prueba de ello, la apelación de los conjuntos con operaciones no asociativas: magma... Sin embargo, existen dos notables excepciones: los conjuntos de los octoniones y de los sedeniones, que son extensiones de los cuaterniones.

Autor: M.Romero Schmidtke