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Anillo cíclico

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

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Índice

1 Definición
2 Cálculo elemental
3 Aplicaciones directas a la aritmética
4 Elementos invertibles
5 Universalidad de los anillos cíclicos
6 Productos de anillos cíclicos

[escribe] Definición

Los anillos son estructuras matemáticas sencillas que generalizan las propiedades de la adición y la multiplicación (asociatividad, conmutatividad, distributividad, elemento neutro, opuesto, ...) del conjunto de los enteros relativos $\mathbb{Z}$ en particular.

Los anillos cíclicos se caracterizan por estar generados por un solo elemento (se dicen monogéneos) y por ser finitos. Más precisamente, para todo número natural $n \ge 2$ existe un único anillo cíclico (salvo isomorfismo) de orden (tamaño) $n$ , que se nota $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (como cociente del anillo $\mathbb{Z}$ por $n\mathbb{Z}$ , el ideal generado por $n$ ), $\mathbb{Z}/(n)$ (el ideal $n\mathbb{Z}$ se escribe $(n)$ a veces) o $\mathbb{Z}_n$ , y se puede representar como en la figura.

Fueron los primeros anillos descubiertos después de $\mathbb{Z}$ y la apelación "anillo" proviene evidentemente de la figura anterior. Fueron definidos por primera vez (aunque con otro nombre) por Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae en 1801.

[escribe] Cálculo elemental

En el anillo $\mathbb{Z}_n$ la suma y el producto son los usuales en $\mathbb{Z}$ con una regla adicional: se impone que los números $n$ y 0 sean iguales. Esto se escribe $n \equiv 0$ ó $n \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ n)$ para ser más preciso, cuando uno se sitúa en $\mathbb{Z}$ , y $\bar{n} = \bar{0}$ cuando se trabaja en $\mathbb{Z}_n$ ( $\bar{a}$ es una manera arbitraria de designar la clase de equivalencia de $a$ en $\mathbb{Z}_n$ , no se empleará aquí esta notación).

Aplicando varias veces lo anterior se muestra que es lícito añadir o sustraer $n$ cuantas veces se quiera a un término sin cambiar su valor en $\mathbb{Z}_n$ :

$a \equiv a + k \cdot n \ (\mathrm{mod} \ n)$ , con $k \in \mathbb{Z}$ .

Se dice que $a$ y $a + k \cdot n$ son iguales módulo $n$ o congruentes módulo $n$ y se llama aritmética modular o congruencias a esta clase de igualdades.

Por ejemplo, en $\mathbb{Z}_{10}$ tenemos que $1968 \equiv 8$ , porque $1968 = 196 \times 10 + 8$ .

En este ejemplo, 8 es el resto de la división euclídea de 1968 por 10, y de hecho cada división da lugar a una congruencia:

el resto y el dividendo son iguales módulo el divisor
si a = b·q + r, entonces r ≡ a (mod q)

La relación $\equiv$ se puede ver como una congruencia en $\mathbb{Z}$ o como una igualdad en $\mathbb{Z}_n$ . Como hemos decidido no distinguir el entero $a$ de su clase $\bar{a}$ , una misma relación $a \equiv b \ (\mathrm{mod} \ n)$ tiene dos interpretaciones. Verla como una igualdad conlleva la ventaja de ser mucho más intuitivo; por ejemplo las propiedades siguientes no sorprenderán:

Sean a₁,a₂, b₁, b₂ enteros (o elementos de $\mathbb{Z}$ _n), y m un natural, entonces:

$\mbox{si } \ a_1 \equiv a_2 \ y\ \ b_1 \equiv b_2 \ \ \mbox{entonces } \left \{ \begin{matrix} a_1 + b_1 \equiv a_2 + b_2 , \\ a_1 b_1 \equiv a_2 b_2, \\ a_1^m \equiv a_2^m \end{matrix} \right.$

[escribe] Aplicaciones directas a la aritmética

Los criterios de divisibilidad por 3, 9 y 11 son consecuencia directa de la relaciones nateriores.

Consideremos el más conocido, el criterio por 9. Sea un número ncuyas cifras son a_o (unidades), a₁ (decenas), a₂ (centenares) ...

Es costumbre escribirlo $n = \overline{a_p a_{p-1} ... a_2 a_1 a_o}$ para distinguirlo del producto $n = a_p a_{p-1} ... a_2 a_1 a_o \quad$ y vale, en escritura clásica: $n = a_p 10^p + a_{p-1} 10^{p-1} + ... + a_2 10^2 + a_1 10 + a_o \quad$

Como $10 \equiv 1 \;(mod \; 9)$ entonces para todo k entero positivo $10^p \equiv 1^p \equiv 1 \;(mod \; 9)\quad$ , y sumando los términos que aparecen en n se obtiene: $n = a_p 10^p + ... + a_1 10 + a_o \equiv a_p+a_{p-1}+ ...+ a_1 + a_0 \;(mod \; 9 )$

Es decir que el resto módulo 9 se obtiene sumando las cifras del número. Para verificar un cálculo, por ejemplo un producto: a = b×c, se miran los restos módulo 9, a',b' y c', y si a'≠b'×c' (mod 9) entonces el cálculo es erroneo. En caso contrario no se puede concluir.

Las congruencias permiten también resolver problemillos esencialmente lúdicos al estilo hallar la cifra de las unidades de 2003²⁰⁰⁵.

Un ordenador común y corriente es incapaz de calcular tamaño número. Buena ocasión para subrayar la superioridad de la inteligencia humana sobre la artificial, y lucirse a la primera oportunidad...
Encontrar la cifra de las unidades se logra trabajando módulo 10, pues el resto de la división por 10 es justamente esta cifra.
Como 2003 ≡ 3 (mod 10), 2003²⁰⁰⁵ ≡ 3²⁰⁰⁵, luego nos toca mirar los 3^k (mod 10):
3⁰ ≡ 1, 3¹ ≡ 3, 3² ≡ 3, 3³ = 27 ≡ 7, 3⁴ = 81 ≡ 1.
Este último resultado permite generalizar: 3^4k ≡ 1, para todo k natural.
Luego dividimos 2005 por 4: 2005 = 4×501 + 1.
Finalmente 3²⁰⁰⁵ = 3^{4×501 + 1} = 3^4×501× 3¹ ≡ 1 × 3 = 3 (mod 10).
La cifra buscada es 3.

[escribe] Elementos invertibles

La adición, sustracción y multiplicación se comportan como era de esperar en los anillos cíclicos. Pero ¿qué hay de la división?
Dividir por un número es por definición multiplicar por su inverso. La cuestión es entonces averiguar cuáles son los elementos invertibles del anillo. El número a es invertible en $\mathbb{Z}/(n)$ si y sólo si existe un b tal que:

a·b ≡ 1 (mod n) lo que se escribe: a·b = 1 + k·n, k ∈ Z es decir: a·b - k·n = 1.

Esto es una identidad de Bézout y tiene soluciones si y sólo si a y n son números coprimos (es decir primos entre sí: su máximo común divisor es 1 ).
Ejemplos:

2 y 5, al ser número primos distintos, son coprimos, entonces 2 es inversible en $\mathbb{Z}$ ₅. Una relación de Bézout es 2×3 - 1×5 = 1 que da 2×3 ≡ 1 (mod 5), por lo consiguiente el inverso de 2 es 3 en $\mathbb{Z}$ ₅. En efecto 2×3 = 6 ≡ 1 (mod 5).
7 y 12 son coprimos porque el número primo 7 no aparece en la descomposición en factores primos de 12 = 2²×3.

El algoritmo de Euclides permite obtener la relación de Bezout:

3×12 - 5×7 = 1 que da la congruencia: -5×7 ≡ 1 (mod 12).

-5 es por lo tanto el inverso de 7 en $\mathbb{Z}$ ₁₂. Pero -5 ≡ 7 (mod 12), por lo consiguiente 7 es su propio inverso en $\mathbb{Z}$ ₁₂, lo que se verifica rapidamente: 7² = 49 = 4×12 + 1 ≡ 1 (mod 12).

El número de elemento inversibles de $\mathbb{Z}$ _n se nota φ(n), done φ es la función fi de Euler.
Si n es primo, y sólo en este caso, todos los enteros naturales no nulos inferiores a n son coprimos con n; esto implica que serán todos inversible en $\mathbb{Z}$ _n, lo que convierte este anillo en un cuerpo a veces denotado F_n.

[escribe] Universalidad de los anillos cíclicos

Sea A un anillo finito, cuyo neutro (para la multiplicación) denotamos e. El conjunto de los múltiplos de e, C = {0, e, 2·e, 3·e, 4·e ...} por ser incluido en A es también finito. Entonces a partir de cierto valor de m, m·e ya fue listado en C, es decir que existe k < m tal que k·e = m·e. Por sustracción n·e = 0 con n = m - k.
Sea n el menor entero natural no nulo tal que n·e = 0. Luego C = {0, e, 2·e, 3·e, 4·e ...(n-1)·e} es decir que C es isomorfo al anillo cíclico de orden n. Además C pertenece al centro de A, pues sus elementos conmuten con todos los de A.
El número n verifica además la propiedad de anular todos los elementos de A: para todo a ∈ A, n·a = n·e·a = 0·a = 0. Es el menor natural no nulo que tiene esta propiedad, y recibe el nombre de característica del anillo.

En resumen:
Todo anillo finito tiene en su centro un anillo cíclico.
Su orden es la característica del anillo
La estructura del anillo es definida en gran medida por su anillo cíclico

En efecto, el producto :

$\begin{matrix} C \times A & \longrightarrow & A \\ (c, a) & \longmapsto & c\cdot a \end{matrix}$

Convierte en anillo A en un módulo sobre C = Z_n. en particular, si la característica n es un primo, entonces A es un espacio vectorial sobre el cuerpo C = Z_n, y como tal es forzosamente ismorfo a Cⁿ. El producto interior le da además una estructura de álgebra.

[escribe] Productos de anillos cíclicos

Teorema:

Para todo par (a , b) de enteros coprimos, Z_a·b es isomorfo al producto de anillos Z_a×Z_b.

Esta permite descomponer un anillo cíclico Z_n en otros menores, según la factorización en números primos de n.

Prueba:

Consideremos la aplicación lineal f: $\begin{matrix} \mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \\ n & \longmapsto & (n \ mod \ a, n \ mod \ b ) \end{matrix}$

("n mod a" es la clase de n en $\mathbb{Z}_a$ , lo mismo para "n mod b")

El núcleo de esta aplicación es el conjunto de los n divisibles a la vez por a y por b; son por lo tanto los múltiplos de mínimo común múltiplo de a y b que es ab porque a y b son coprimos: El nucleo es $Ker \ f = ab \mathbb{Z}$ .
Como a y b son coprimos, el teorema de los restos chinos, consecuencia de la identidad de Bézout afirma que f es sobreyectiva: $Im \, f = \mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b$ . Según la descomposición de una aplicación lineal existe un isomorfismo (luego una biyección) entre $\mathbb{Z} / Ker \ f$ e Im f es decir entre $\mathbb{Z}_{ab}$ y $\mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b$ .

La biyección se obtiene gráficamente en un tablero de a × b casillas, enumerando las casillas de la diagonal (lo que corresponde a la aplicacion n → (n,n) ) y cuando se alcanza un borde se sigue por el borde opuesto, como si se tocasen. Las flechas en rojo de la segunda figura indican estos repentinos cambios de bordes.
Miremos por ejemplo la casilla que contiene el número 17. Corresponde al elemento $\overline{17}$ de $\mathbb{Z}$ ₂₈. Está situado en la columna $\overline{3}$ y la fila $\overline{1}$ .
Entonces $\overline{17}$ de $\mathbb{Z}$ ₂₈ corresponde a $(\overline{3}, \overline{1})$ de $\mathbb{Z}$ ₇× $\mathbb{Z}$ ₄.

Con valores pequeños de a y b existe otra manera de obtener la biyección: En vez de cortar en pedazos la diagonal, se prefiere reproducir el tablero a × b cuantas veces sea necesario (de hecho, b·a veces) para obtener los a·b elementos de $\mathbb{Z}$ _a·b. Luego se los reúnen en un mismo cuadro.
$\mathbb{Z}$ ₆ ≡ $\mathbb{Z}$ ₂× $\mathbb{Z}$ ₃, así:
0 → (0,0)
1 → (1,1)
2 → (0,2)
3 → (1,0)
4 → (0,1)
5 → (1,2)

Pegar los bordes opuestos de un rectángulo da en topología un toro, un neumático sin la apertura central. El toro es en geometría el producto de dos círculos, cada uno representa un anillo cíclico.

Autor: M.Romero Schmidtke

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Categoría: Matemáticas

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