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Anillo (matemáticas)

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Un anillo es una estructura algebraica en la cual se pueden realizar las operaciones de adición, sustracción y multiplicación y valen las reglas asociativas , conmutativas y distributivas, las que resultan familiares en la aritmética de números ordinarios. No está garantizada la existencia de inversos multiplicativos.

Axiomática

En matemáticas, dos operaciones binarias (que denotaremos con los símbolos de la suma y el producto por comodidad) en un mismo conjunto A definen una estructura de anillo (con unidad o unitario) cuando verifican los siguientes axiomas (los cuatro primeros afirman que la suma define una estructura de grupo conmutativo en A):

  1. La suma es asociativa: a + (b + c)=(a + b) + c.
  2. La suma es conmutativa: a + b = b + a.
  3. Existe un elemento 0 en A tal que: a + 0 = a. (elemento neutro)
  4. Para cada elemento a de A existe otro elemento b tal que: a + b = 0. (existencia de inverso aditivo)
  5. El producto es asociativo: a(bc) = (ab)c.
  6. distributividad del producto sobre la suma): a(b+c) = ab + ac , (a + b)c = ac + bc.
  7. (Existencia de unidad): Existe un elemento 1 en A tal que a1 = 1a = a para todo elemento a de A.

Si además el producto es conmutativo, ab = ba, se dice que el anillo es conmutativo.

Definiciones

  • Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple 1·a=a·1=a para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario.
  • Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, b es inverso multiplicativo de a si a·b=b·a=1, esto es, si posee un inverso con respecto al producto.
  • Elemento inversible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.
  • Divisor del cero: un elemento a, distinto de cero, es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.
  • Leyes de simplificación: si el elemento a no es cero, se dice que se verifican las leyes de simplificación si a·b=a·c implica que b=c, y además, b·a=c·a implica que b=c

Ejemplos

Las operaciones de suma y producto usuales definen una estructura de anillo conmutativo en (el conjunto de) los números enteros, en los números racionales, los números reales, los números complejos, los polinomios, las funciones (digamos continuas) reales de variable real, las sucesiones convergentes de números complejos, etc.

Por otra parte, la suma y el producto de matrices definen una estructura de anillo en las matrices cuadradas con un número dado n de filas y columnas. Este anillo no es conmutativo cuando n>1.

Un ejemplo menos clásico de anillo conmutativo es el anillo de los enteros de Gauss Z[i], formado por los números complejos a + c·i cuya parte real a e imaginaria b son números enteros. Así, 3-5i es un entero de Gauss y 1,5+i no lo es.

Importancia

La importancia de la estructura de anillo conmutativo radica en que, al disponer de los conceptos de suma y producto con las propiedades más usuales, también tenemos muchos de las nociones básicas de la aritmética: múltiplos y divisores, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, primos, elementos primos entre sí, congruencias, etc. En cada anillo podemos desarrollar una teoría de la divisibilidad, usando las ideas y los métodos propios de la aritmética elemental. Cada anillo conmutativo es una aritmética generalizada, y la aritmética tradicional se obtiene cuando se considera el anillo Z de los números enteros.

En el caso del anillo de polinomios (digamos en tres variables), la correspondiente teoría de la divisibilidad recoge las propiedades geométricas de las figuras del espacio tridimensional definidas por ecuaciones algebraicas (las llamadas variedades algebraicas: rectas, planos, cónicas, cuádricas, superficies cúbicas, etc.), iniciando así el cumplimiento del fantástico sueño de Kummer : la unificación de la aritmética y la geometría. Una unión aún más estrecha entre ambas se realizó en los años 60 con la introducción por Grothendieck de los "esquemas", versión global del concepto de anillo conmutativo.

En cuanto a los enteros de Gauss, los introdujo Gauss para estudiar las descomposiciones de cualquier número natural n en suma de dos cuadrados perfectos, pues se dio cuenta de que la teoría de la divisibilidad en el anillo Z[i] recoge las propiedades de las ecuaciones diofánticas (en honor de Diofanto, se llaman así a las ecuaciones con coeficientes enteros de las que se buscan únicamente las soluciones enteras) de la forma x2+y2 = n. Posteriormente Kummer estudió la aritmética ciertos anillos definidos por raíces p-ésimas de la unidad, donde p es número primo impar. Consiguió probar que cuando en tales anillos es válida la unicidad de la descomposición en factores primos, entonces la ecuación diofántica xp + yp = zp, llamada ecuación de Fermat, carece de soluciones positivas (y por tanto para todo exponente divisible por p). El primer número primo en que falla la unicidad de tal descomposición es p = 23. En estos trabajos de Kummer se basaron todos los avances posteriores sobre el Teorema de Fermat, hasta que Andrew Wiles consiguió finalmente demostrarlo para todo exponente mayor que 2.

Tipos de anillos

  • Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b = b·a para todos a y b.
  • Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.
  • Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del neutro de la suma, tiene inverso.
  • Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.
  • Dominio de integridad: si un anillo es conmutativo, unitario y no posee divisores del cero, es un dominio de integridad.
  • Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.

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