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Último teorema de Fermat
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
El último teorema de Fermat[1] dice lo siguiente:
La ecuación 
no tiene solución entera no trivial (es decir que x e y no son nulos) cuando n ≥ 3.
Para n = 2, las soluciones son las ternas pitagóricas.
Fermat enunció su conjetura en 1637, escribiendo en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría lo siguiente (en latín [2]):
- Es imposible dividir un cubo en suma de otros dos o un bicuadrado en otros dos bicuadrados, en general una potencia cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa pero en este margen es demasiado estrecho para contenerla.
La demostración se demoró tres siglos y medio después, y requirió la creación de un dominio entero de las matemáticas alrededor del tema: la geometría algebraica.
He aquí las distintas etapas históricas que llevaron a la demostración efectiva del teorema:
Los dos primeros puntos se demostraron muy temprano:
- Si se prueba que la ecuación es imposible con cierto valor de n, también lo será con los múltiples de kn de n porque
. Por tanto basta considerar los valores primos de n (distinto de 2) y el los valores n = 2k (k ≥ 2) porque estos números sólo tienen 2 como factor primo, y n = 2 es un caso muy particular.
- El caso n = 4 se deduce del caso n = 2: si x4 + y4 = z4, esto es (x2)2 + (y2)2 = (z2)2 es decir que (x², y², z²) es una terna pitagórica, lo que no es posible examinando su fórmula y después de una página de cálculos. Luego si n = 2k (k ≥ 2) tampoco es posible porque
luego 
sería una solución del caso n = 4 lo que ya se sabe imposible.
- Leonhard Euler demuestra el caso n = 3.
- Sophie Germain establece en el siglo XVIII lo siguiente: para n < 100, si (x, y, z) es una solución entonces x, y o z tiene que ser divisible por n.
- Peter Gustav Lejeune y Dirichlet demuestran los casos n = 5 y n = 14.
- Lamé demuestra el caso n = 7
- En 1908 la Universidad de Gotinga (Alemania) ofrece una recompensa de 100.000 marcos si alguien demostraba que el teorema era cierto o falso antes de un siglo (es decir antes de 2007).
- En 1968 Shimura, Taniyama y Weil enuncian su conjetura: toda curva elíptica proviene de una forma modular.
- En 1970 Jean-Pierre Serre enuncia su conjetura sobre las formas modulares
- Frey y Ribet demuestran que la conjetura de Shimura, Taniyama y Weil implica a la de Serre.
- El 23 de junio de 1993, Andrew Wiles, un matemático de Princeton afirma en una conferencia haber demostrado que era cierto, pero Nicolás Bourbaki encontra un fallo en noviembre del mismo año, que Wales mismo corrige el 25 de octubre de 1994, actualizando su prueba.
Esta nueva demostración fue aceptada, publicada en Annals of Mathematics en mayo de 1995, y Wiles se llevó el premio de Gotinga.
Referencias
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Notas
- ↑ Que debiera llamarse la última conjetura de Fermat porque el matemático Pierre de Fermat nunca la demostró.
- ↑ Texto original :Cubum autem un duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum patestatem in duos euisdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.
