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Ángulos opuestos por el vértice

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Definición

Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son semirrectas opuestas de los lados del otro.

Angulos opuestos por el vertice.png

Teorema

Enunciado: los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (esta demostración es adjudicada a Tales de Mileto).

Hipótesis: α y β opuestos por el vértice

Tesis: α = β

Demostración: sean los ángulos adyacentes α y β:

α + γ = 180º por ser adyacentes.
β + γ = 180º por ser adyacentes.

Por consecuencia del corolario de la propiedad transitiva, los primeros términos deben ser iguales entre sí:

α + γ = β + γ

Y dado que γ es igual a si mismo, restándolo en ambos miembros de la igualdad:

(α + γ) - γ = (β + γ) - γ
α = β

Corolario: las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.