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Álgebra lineal

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El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia los vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en las matemáticas modernas, por lo que el álgebra lineal se usa ampliamente en álgebra (estudio de las estructuras) y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

Historia

Introducción elemental

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el 2º. y 3er. cuadrantes del plano cartesiano. Un vector, aquí, es un segmento de línea orientado, caracterizado por ambas longitudes y magnitudes, así como dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar ciertas magnitudes físicas como fuerzas y pueden ser añadidas (sumadas) y multiplicadas como magnitudes escalares, entonces formando el primer ejemplo real de espacio vectorial.

El álgebra lineal hoy en día se ha extendido a considerar n-espacio, puesto que los más útiles resultados de los cuadrantes segundo y tercero pueden ser extendidos n-dimensionalmente en el espacio, pero podemos considerar que el álgebra lineal investiga y abarca espacios de dimensiones infinitas. Aunque mucha gente no puede visualizar vectores en n-espacio, como los vectores ó n-multiplo es útil representando información. Puesto que los vectores, como n-múltiplo, son considerados listas ordenadas de n componentes, la mayor parte de la gente puede resumir y manipular información eficientemente en esta estructura. Por ejemplo, en economía, uno puede crear y usar, vectores octo-dimensionales ú óctuples para representar el Producto Interno Bruto para ocho diferentes países. Uno puede simplemente mostrar el Producto Interno Bruto en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, y bien podemos integrar todo esto en un campo. Algunos ejemplos contundentes en este grupo son la inversión lineal de aplicaciones o matrices, y el anillo de aplicaciones lineales de un espacio vectorial. El álgebra lineal también juega un rol importante en el cálculo, notablemente, en la descripción de derivadas de alto grado, en el análisis vectorial y en el estudio de los productos de tensores.

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como es el cuerpo de los números reales o en el campo de los números complejos. Los operadores lineales toman/tienen efecto en el espacio lineal de otro (o en sí mismo), en una manera que es compatible con la suma/adición y la multiplicación escalar en un (o más) espacio(s) vectorial(es). Es el arreglo en sí las transformaciones del espacio vectorial. Si la base de un espacio vectorial está definida, cada transformación está definida, y cada transformación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y autovectores, se consideran parte del álgebra.

Uno puede resolver problemas lineales de matemáticas, o aquellos que exhiben un comportamiento de linealidad. El cálculo diferencial permite la aproximación lineal de funciones. La diferenciación entre problema no-lineal y uno lineal es muy importante en la práctica.

Algunos teoremas famosos

Generalización y temas relacionados

Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de las matemáticas: En la teoría del módulo que remplaza al cuerpo de los escalares por un anillo, en el álgebra multilineal uno lidia con múltiples variables y transformaciones lineales con relación a cada variable; inevitablemente dirigiéndonos al concepto de tensor. En la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensiones infinitas está ganada, aplicando análisis matemático en una teoría que no es puramente algebráica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

Referencias

Fuentes empleadas y notas