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George Boole (1815-1864) introdujo en 1854 un tratamiento lógico sistemático para un sistema algebraico; una estructura algebraica definida para un conjunto de elementos junto con dos operadores que satisfacen ciertas propiedades. En su tesis de maestría en el MIT (1938), Claude E. Shannon (1916-2001) estudió un álgebra de Boole de dos valores llamada álgebra de conmutación. Este álgebra puede representar las propiedades de los circuitos de conmutación eléctrica biestables.

Sean un conjunto B y dos operadores internos^(*) que se denotaran '+' y '·'.
Una estructura algebraica es un álgebra de Boole si satisface las siguientes propiedades:

• Existe un elemento identidad con respecto a '+' llamado 0. Se cumple: x + 0 = 0 + x = x
• Existe un elemento identidad con respecto a '·' llamado 1. Se cumple: x·1 = 1·x = x
• Conmutatividad del operador '+'. Se cumple: x + y = y + x
• Conmutatividad del operador '·'. Se cumple: x·y = y·x
• Distributividad de '·' respecto de '+'. Se cumple: x·(y + z)=(x·y) + (x·z)
• Distributividad de '+' respecto de '·' . Se cumple: x + (y·z) = (x + y)·(x + z)
• Para todo elemento x de B existe un complemento x' que pertenece a B, y que cumple: x + x'= 1 y x·x' = 0
• Existen al menos dos elementos x e y en el conjunto B y son distintos.

El ejemplo más sencillo es el conjunto de las partes de un conjunto dado Ω (letra que representa a menudo el universo en probabilidad), con los operadores 'U' (unión) y '∩' (intersección). El conjunto vacío es el neutro de 'U' (correponde a 0) y el universo Ω es el neutro de '∩' (corresponde a 1).

(*): x + y    y   x·y son siempre elementos del conjunto B, no salen de él.

[escribe] Referencias

Notas